■レムニスケート曲線の性質(その19)

 ファニャーノは倍角公式,4倍角公式によって得られるものに置き換えて,レムニスケートの四半弧の3等分あるいは5等分を与える代数方程式を導いています.

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【1】レムニスケートサインのn倍角公式

 レムニスケートサインの加法定理

  sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))

より,

  sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

  sl(3u)=(sl(2u)sl'(u)+sl(u)sl'(2u))/(1+sl^2(2u)sl^2(u))

  sl(4u)=(sl(3u)sl'(u)+sl(u)sl'(3u))/(1+sl^2(3u)sl^2(u))

  sl(5u)=(sl(4u)sl'(u)+sl(u)sl'(4u))/(1+sl^2(4u)sl^2(u))

  sl(6u)=(sl(5u)sl'(u)+sl(u)sl'(5u))/(1+sl^2(5u)sl^2(u))

また,

  sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

  sl'(2u)=(1-sl^4(2u))^1/2

  sl'(3u)=(1-sl^4(3u))^1/2

  sl'(4u)=(1-sl^4(4u))^1/2

  sl'(5u)=(1-sl^4(5u))^1/2

を用いて,sl(u)の関数として表すと

  sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))

などが得られます.

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【2】レムニスケートのn等分と次数n^2の方程式

 しかし,sl(nu),n≧3をsl(u)の関数として表すことは大層複雑であって,次数n^2の方程式が登場する.

 たとえば,s=sl(2ω/5)とおくと,sl(5u)の乗法公式により,sは

  (5−2s^4+s^8)(1−12s^4−26s^8+52s^12+s^16)=0,

すなわち,24次方程式の根になるが,因数(s−1)で割り切れることを考慮すると25次方程式が得られるというわけである.

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