■レムニスケート曲線の性質(その17)

【5】レムニスケート弧長の2等分

ここで,2等分点を求めるためにはsl(2u)をsl(u)の関数として表せればよいことになるのですが,

  sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))

より,ファニャーノはレムニスケートの四半弧を同じ長さの2つの弧へ分解することができることを示しました.具体的にいうとsl(2u)=1,すなわち,

2z(1−z^4)^1/2/(1+z^4)=1

とおくことによって

  z^2=√2−1

  z=(-1+√2)^1/2=0.643594

もう一度この手続きを繰り返すと

2z(1−z^4)^1/2/(1+z^4)=(-1+√2)^1/2

より4等分点が導かれます.2等分を3回繰り返すと8等分点,・・・.これによって1/2^n倍に対する値が導かれます.

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