■レムニスケート曲線の性質(その14)

【2】ガンマ関数・ベータ関数からの補足

  ∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=2

  ∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π/2

は初等的にも得ることができますが,それでは,

  ∫(0,1) 1/(1-x^4)^(1/2)dx=1.311028・・・=ω

は,どのようにすれば求めることができるのでしょうか?

 ガンマ関数(オイラーの第2種積分)は,

  Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt

ベータ関数(オイラーの第1種積分)は,

  B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

によって定義されます.ベータ関数とガンマ関数との間には,

  B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

の関係がありますから,ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります.

 

  Γ(1)=1,Γ(1/2)=√π

であることを知っていればたいてい間に合いますが,Γ(1/2)=√πを得るにはベータ関数において,t=sin^2θとおくと

  dt=2sinθcosθdθ

ですから

  B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ

ここで,a=1/2,b=1/2とすると

  B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π

  Γ^2(1/2)/Γ(1)=π

Γ(1)=1ですから,Γ(1/2)=√πとなります.

 ベータ関数において,a=m/n, b=1/2とおき,t=x^nと置換すると,

  ∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ(m/n)√π/nΓ(m/n+1/2)

したがって,

 (m,n)=(1,1)のとき,∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=2

 (m,n)=(1,2)のとき,∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π/2

 (m,n)=(1,3)のとき,∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3(1/3)/2^(4/3)3^(1/2)π

 (m,n)=(1,4)のとき,∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2(1/4)/2^(5/2)π^(1/2)

が得られます.数値的に計算すると

[1]n=1:Γ(1)√π/Γ(3/2)=2

[2]n=2:Γ(1/2)√π/2Γ(1)=π/2=1.5708

[3]n=3:Γ(1/3)√π/3Γ(5/6)=1.40218

[4]n=4:Γ(1/4)√π/4Γ(3/4)=1.31103

[5]n=5:Γ(1/5)√π/5Γ(7/10)=1.25373

[6]n=6:Γ(1/6)√π/6Γ(2/3)=1.21433

[7]n→∞のとき,

  ∫(0,1)1/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ(1/n)Γ(1/2)/nΓ(1/n+1/2)→Γ(1/n)/n=Γ(1+1/n)→Γ(1)=1

が得られます.

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