【２】ガンマ関数・ベータ関数からの補足

　　∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　　∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

は初等的にも得ることができますが，それでは，

　　∫(0,1) 1/(1-x^4)^(1/2)dx=1.311028･･･=ω

は，どのようにすれば求めることができるのでしょうか？

　ガンマ関数（オイラーの第２種積分）は，

　　Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt

ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt

によって定義されます．ベータ関数とガンマ関数との間には，

　　B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)

の関係がありますから，ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります．

　　Γ(1)＝１，Γ(1/2)＝√π

であることを知っていればたいてい間に合いますが，Γ(1/2)＝√πを得るにはベータ関数において，t=sin^2θとおくと

　　dt=2sinθcosθdθ

ですから

　　B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ

ここで，a=1/2,b=1/2とすると

　　B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π

　　Γ^2(1/2)/Γ(1)=π

Γ(1)=1ですから，Γ(1/2)＝√πとなります．

　ベータ関数において，a=m/n, b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，

　　∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）

したがって，

　(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２

　(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２

　(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π

　(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)

が得られます．数値的に計算すると

［１］ｎ＝１：Γ（1）√π／Γ（3/2）＝２

［２］ｎ＝２：Γ（1/2）√π／２Γ（1）＝π／２＝１．５７０８

［３］ｎ＝３：Γ（1/3）√π／３Γ（5/6）＝１．４０２１８

［４］ｎ＝４：Γ（1/4）√π／４Γ（3/4）＝１．３１１０３

［５］ｎ＝５：Γ（1/5）√π／５Γ（7/10）＝１．２５３７３

［６］ｎ＝６：Γ（1/6）√π／６Γ（2/3）＝１．２１４３３

［７］ｎ→∞のとき，

　　∫(0,1)1/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（1/n）Γ（1/2）／nΓ（1/n+1/2）→Γ（1/n）／ｎ＝Γ（1+1/n）→Γ（1）＝１

が得られます．

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