【１】レムニスケートの周長

円の４分の１周の長さを求めるのに，y=(1-x^2)^(1/2)に対し，

　　∫(0,1)(1+(dy/dx)^2)^(1/2)dx

を計算すると，

∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx

となりますが，レムニスケートへの拡張を考慮して，ここでは円(x-1/2)^2+y^2=(1/2)^2を極座標表示したr=cosθに対して，円の２分の１周の長さを求めます．

　　∫(0,1)(1+(rdθ/dr)^2)^(1/2)dr

を計算すると

∫(0,1)1/(1-r^2)^(1/2)dr=π/2

となります．

同様に，レムニスケートの第1象限の４分の１周の長さを求めるのに，

　　∫(0,1)(1+(rdθ/dr)^2)^(1/2)dr

を計算すると

∫(0,1)1/(1-r^4)^(1/2)dr=1.311028･･･=ω

となります．4ωがレムニスケートの全長です．レムニスケートの定数（レムニスケート周率）ωは円に対する円周率πと同じ役割を演じていることになります．

一般に，P(x)を２次の多項式とするとき，

　　F(z)=∫(0,z) 1/(P(x))^(1/2)dx

は対数あるいは三角関数になりますが，重根をもたない３次，４次の多項式の場合はそうはいかず，初等関数をいくら組み合わせても得られない関数が登場します．P(x)を３次，４次の多項式とするとき，u=F(z)は楕円積分，その逆関数z=F(u)は楕円関数と命名されています．また，P(x)を５次以上の多項式とするとき，当該の関数は超楕円積分，超楕円関数と呼ばれます．

極座標はベルヌーイの時代より前にもときどき使われていたのですが，極座標を広範囲に使用し，多くの曲線に適用してさまざまな性質を最初に見つけたのは，ヤコブ・ベルヌーイでした．このようにして，ベルヌーイはレムニスケートの弧長を

u=F(z)=∫(0,z) 1/(1-x^4)^(1/2)dx

と表しました．これがレムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．

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