レムニスケート（正葉曲線，連珠形）には円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることはよく知られている．

　レムニスケートの弧長は

∫(0,x)1/(1-x^4)^(1/2)dt

と表わされる．これはレムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分である．また，

∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dt=1.311028･･･=ω/2

とおくと，2ωがレムニスケートの全長になる．レムニスケートの定数（レムニスケート周率）ωは円に対する円周率πと同じ役割を演じていることになる．

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【１】レムニスケート積分の倍角公式

　レムニスケートサインの加法定理

　　sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))

より，

　　sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

　　sl(3u)=(sl(2u)sl'(u)+sl(u)sl'(2u))/(1+sl^2(2u)sl^2(u))

　　sl(4u)=(sl(3u)sl'(u)+sl(u)sl'(3u))/(1+sl^2(3u)sl^2(u))

　　sl(5u)=(sl(4u)sl'(u)+sl(u)sl'(4u))/(1+sl^2(4u)sl^2(u))

　　sl(6u)=(sl(5u)sl'(u)+sl(u)sl'(5u))/(1+sl^2(5u)sl^2(u))

さらに，

　　sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

　　sl'(2u)=(1-sl^4(2u))^1/2

　　sl'(3u)=(1-sl^4(3u))^1/2

　　sl'(4u)=(1-sl^4(4u))^1/2

　　sl'(5u)=(1-sl^4(5u))^1/2

を用いて，sl(u)の関数として表すと

　　sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))

などが得られる．

　ここで，２等分を与えるにはsl(2u)をsl(u)の関数として表せればよいことになるのだが，レムニスケートサインの倍角公式は

　　sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))

　　sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

　　sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

　　sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))=2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)

のようになり，レムニスケートサインとその導関数が正弦関数とその導関数である余弦関数にいかに類似しているかわかるだろう．

　　2u=sl^(-1)(2x(1-x^2)^1/2/(1+x^4))

したがって，レムニスケート積分の倍角公式

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt

　　２Ｇ（ｘ）＝Ｇ（２ｘ（１−ｘ^4）^1/2／（１＋ｘ^4））

が成り立つ．2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4)もｘから四則演算および平方根により得られるので，円同様，レムニスケートも定規とコンパスだけで弧長を２倍にする作図が可能であることを示している．

　実際，ファニャーノは倍角公式，４倍角公式によって得られるものに置き換えて，レムニスケートの四半弧の２等分あるいは４等分を与える代数方程式を導いたとされている．たとえば，レムニスケートサインの倍角公式より，

　　２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）＝１

と置くことによって

　　ｚ^2＝√２−１

　　ｚ＝(-1+√2)^1/2=0.643594

が得られる．すなわち，レムニスケート弧長の２等分点は四則演算および平方根により得られるので，円同様，レムニスケートの４半弧も定規とコンパスだけで弧長を１／２倍にする作図が可能であることが示される．

［補］１７５１年，オイラーは逆正弦関数の加法定理

　　Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）

との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理

　　Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））

を構成することに成功している．加法公式においてｘ＝ｙとおけば，倍角公式を得ることができる．

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