定円の半径をa,動円の半径をbとするエピサイクロイド、ハイポサイクロイドの軌跡は

複素数ω=cosθ+isinθを使って

z=(a+b)ω+bω^(1+a/b)

z=(a-b)ω+bω^(1-a/b)

で表される。

カージオイドは

z=2aω+aω^2

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外接円の半径をa=1,動円の半径をb=1/nとすると

z=(n+1)/(n+2)ω+1/(n+2)ω^(1+n)

z=(n-1)/nω+1/nω^(1-n)

で表される。

カージオイドは

z=2/3ω+1/3ω^2

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対称性をもっと強調するためには

外接円の半径をa=1,動円の半径をb=1/(n-1)とすると

z=n/(n+1)ω+1/(n+1)ω^(n)

z=n/(n+1)ω+1/(n+1)ω^(n)

で表される。

カージオイドは

z=2/3ω+1/3ω^2

これを用いると

直線ωω^nは線分ωω^nを1：ｎに内分する点で、このエピサイクロイドに接する

直線ωω^-nは線分ωω^-nを1：ｎに内分する点で、このハイポポサイクロイドに直交する

ことが示される

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