【１】面数最大の空間充填多面体の反例

　平行多面体とは辺が平行（したがって平行四辺形面，平行六辺形面に限られる），面が平行，そして平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体である．フェドロフは平行多面体には立方体，６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体，切頂８面体の５種類しかないことを証明した．

　これら５種類の図形（フェドロフの平行多面体）は３次元格子の幾何学的分類であって，５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられる．

　このうち１４面多面体は切頂８面体だけであるが，切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂８面体（ｆ＝１４，ｄ＝６）の辺を点に縮めることによって，長菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝５）→菱形１２面体（ｆ＝１２，ｄ＝４），６角柱（ｆ＝８，ｄ＝４）→立方体（ｆ＝６，ｄ＝３）ができる．すなわち，６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂８面体と考えることができる所以である．

また，ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグの舗石定理）．そして，ミンコフスキーはｎ＋１個のとき，タイル（space filler）の面数は最大２（２^n−１）個をもつことを証明した．

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　長い間，２（２^n−１）がｎ次元空間充填多面体の面数の上限であると信じられてきた．すなわち，３次元空間充填多面体の面数の上限は１４面であり，１４面以上の面をもつことは不可能であると・・・．

　しかし，平行移動のほかに回転や鏡映操作も許せば，さらに多くの多面体が空間充填可能となる．

［１］Foepplの１６面体（１９１４年）

　正四面体は単独では空間充填できない．また，正四面体の辺の３等分点で切頂すると切頂四面体となるが，切り取った小正四面体を各面と底面として中心から四等分するとマラルディの角が現れる．この三角錐片の二面角が１２０°である．そして，その三角錐片を切頂四面体の切頂面に載せた形は単独で空間充填し得るようになる．

［２］Loeckenhoff and Hellnerの１８面体（１９４１年）

　Foepplの１６面体はダイヤモンド格子を下にして設計されたものであるが，それをひねるとこのような１８面体になる．これは４軸構造＝Ｋ４格子に対応するものである．

［３］Engelの３８面体（１９８０年）

　エンゲルは３８面をもつタイル（space filler）をいくつか作った．ちなみに現在は４≦ｆ≦３８であるすべてのｆに対し，空間充填可能な凸ｆ面体が存在することが判明している．３８より大きい面数のタイルは存在するだろうか？　また，面数に上限はあるだろうか？

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