■反例集(その1)

 オイラーは,フェルマー予想の一般のn乗ベキに対する証明に拡張する望みはまず見いだせないと書いています.

 さらに,オイラーは,フェルマー予想の条件をゆるめて一般化した問題

『x1^n+x2^n+・・・+xn-1^n=xn^n,たとえば,x^4+y^4+z^4=w^4にも自然数解がない』と予想しました.

 この不定方程式には整数解がないであろうことが長い間予想されていて,モーデルはコンピュータを使ってw<220000の範囲でこの問題は成立することを紹介しています.

 ところが,オイラーの推測からおよそ200年後,コンピュータを使って

27^5+84^5+110^5+133^5=144^5  (1966年)

95800^4+217519^4+414560^4=422481^4  (1988年)

2682440^4+15365639^4+18796760^4=20615073^4  (1988年)

などのオイラー予想に対する反例が発見されました.

 さらに,エルキースにより,x^4+y^4+z^4=w^4には無数の解があることが楕円曲線の理論に基づいて示されました(1988年).

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  [参]大野泰生・松井優「白熱!無差別級数学バトル」日本評論社

に掲載されている問題です.

 1からはじめなくてもよければ,3^2+4^2=5^2,18^2+19^2+・・・+28^2=77^2,3^3+4^3+5^3=6^3,11^3+12^3+13^3+14^3=20^3など連続した平方(立方)数の和が平方(立方)数となることがあります.

[Q]x^4+(x+1)^4+(x+2)^4+(x+3)^4=(x+4)^4を満たす整数xは存在しないことを証明せよ.

[A]x=4k+1のとき,左辺=2,右辺=1  (mod4)

   x=4k+2のとき,左辺=2,右辺=0  (mod4)

   x=4k+3のとき,左辺=2,右辺=0  (mod4)

   x=4kのとき,左辺=2,右辺=0    (mod4)

[Q]x^k+(x+1)^k+・・・+(x+k−1)^k=(x+k)^kを考える.

(1)kの1の位が1のとき,上式を満たす整数xは存在しないことを証明せよ.

(2)kが素数のとき,上式を満たす整数xが存在するならば,k=2であることを証明せよ.

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 x^k+(x+1)^k+・・・+(x+k−1)^k=(x+k)^kが整数解をもつならば,

[1]k=2,x=−1→(−1)^2+0^2=1^2

[2]k=2,x=3→3^2+4^2=5^2

[2]k=3,x=3→3^3+4^3+5^3=6^3

の3通りだけであると予想されている.

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