【１】ラグランジュ・スペクトル

｜α－ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

λ=｛√５，√８，√（２２１）／５，√（１５１７）／１３，・・・｝

そして，これらに対応する数とつきあわせると

　　√５→（－１＋√５）／２＝［０：１，１，１，・・・］

　　√８→（－１＋√２）＝［０：２，２，２，・・・］

　　√（２２１）／５→（－９＋√２２１）／１４＝［０：２，２，１，１，・・・］

　　√（１５１７）／１３→（－２３＋√１５１７）／３８＝［０：２，２，１，１，１，１，・・・］

［１］（－１＋√５）／２以外のすべての無理数αに対して，λ＞√５として，

　　　｜α－ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

となる有理数ｐ／ｑが無限個存在する．

［２］（－１＋√５）／２と（－１＋√２）以外のすべての無理数αに対して，λ＞√８として，

　　　｜α－ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

となる有理数ｐ／ｑが無限個存在する．

［３］（－１＋√５）／２と（－１＋√２）と（－９＋√２２１）／１４以外のすべての無理数αに対して，λ＞√（２２１）／５として，

　　　｜α－ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

となる有理数ｐ／ｑが無限個存在する．

［４］（－１＋√５）／２と（－１＋√２）と（－９＋√２２１）／１４と（－２３＋√１５１７）／３８以外のすべての無理数αに対して，λ＞√（１５１７）／１３として，

　　　｜α－ｐ／ｑ｜＜１／λｑ^2

となる有理数ｐ／ｑが無限個存在する．

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　マルコフ数の謎について，さらに続けるならば

　　√（７８６５）／２９→［０：２，２，２，２，１，１，・・・］

　　√（２６００）／１７→［０：２，２，１，１，１，１，１，１，・・・］

　　√（７８２８５）／８９→［０：２，２，１，１，１，１，１，１，１，１，・・・］

　　√（２５７０４５）／１６９→［０：２，２，２，２，２，２，１，１，・・・］

　　√（８４６８０）／９７→［０：２，２，１，１，２，２，１，１，１，１，・・・］

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