平面上に十分に多い点が与えられたとき、常に凸ｎ角形を与えるｎ個の点を選び出すことができるか？

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［１］平面上に５つの点をどう配置しても必ず凸四角形をなす４点を選ぶことができる．

［２］平面上に９つの点をどう配置しても必ず凸五角形をなす５点を選ぶことができる．

　この問題は戦前のブダペストでエシュテル・クラインによって提示された問題である．その会に出席していたポール・エルデシュとジョルジー・セケレシュはその本質的な理由を考えた．その３年後，エシュテルとジョルジーは結婚．エルデシュにより，この問題は「ハッピーエンド問題」と呼ばれることになった．

　エルデシュは、20世紀の組み合わせ論の分野ではずば抜けた存在であった。一生を数学に捧げ、全財産を詰め込んだ旅行鞄を抱え、世界を旅した。数学の種をまいていって、世界中の500人以上の研究者たちと1500篇を超える論文を書いた。そして、

［３］平面上に７１の点をどう配置しても必ず凸六角形をなす６点を選ぶことができる．

ことを証明した．

　彼の仕事はどんなｎについても、ある数ｇ（ｎ）が存在して

［４］平面上にｇ（ｎ）個の点をどう配置しても必ず凸ｎ角形をなすｎ点を選ぶことができる．

ことを証明した．しかし，なぜ常にそうなるのか本質的な理由はまだ解明されていない．何をどうやって証明すればいいのだろうか？

ｇ（３）＝３は自明であり、ｇ（４）＝５となることから、ｇ（ｎ）＝１＋２^(n-2)と予想された。

のちに、ｇ（５）＝９が示された。ｎ≧６に対するｇ（ｎ）の値はよくわかっていない。

　今日，ｇ（６）＝１７は改良され，

　　１７≦ｇ（６）≦３７

という結果が得られている．これはハッピーエンドにはなっていないのである．

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