５角形数Ｐ個，６角形数Ｈ個とすると，

　　面数Ｐ＋Ｈ

　　辺数（５Ｐ＋６Ｈ）／２

　　頂点数（５Ｐ＋６Ｈ）／３

　オイラーの公式に代入すると

　　（５Ｐ＋６Ｈ）／３−（５Ｐ＋６Ｈ）／２＋Ｐ＋Ｈ＝２

　　−（５Ｐ＋６Ｈ）＋６（Ｐ＋Ｈ）＝１２

　Ｈが消えて，Ｐ＝１２を得る．

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[３]切頂２０面体（Ｆ＝３２，Ｅ＝９０，Ｖ＝６０）

であるから、各辺の長さをｓとおくと、サッカーボールの縫い目の全長Ｌは

L=90S

で与えられる。半径R＝11ｃｍのサッカーボールの縫い目の全長Lを求めてみることにしよう。

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　１辺の長さ１のときの体積は

　　正２０面体：５τ^2／６＝（１５＋５√５）／１２

　　正１２面体：τ^4√５／２＝（１５＋７√５）／４

｛（５＋２√５）／５｝^1/2・５／４（正五角形の面積）

３√３／２（正六角形の面積）

Ｖ＝20s^2・３√３／２+１２s^2・｛（５＋２√５）／５｝^1/2・５／４＝４πＲ^2

で近似することができて

ｓ＝4.58ｃｍ

Ｌ＝４.１２ｍになる。

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