【１】４頂点定理

　曲線全体が常に接線の片側にあるとき，その曲線を凸閉曲線あるいは卵形線と呼びます．このことは曲率κ(s)が符号を変えないことと同値です．平面上の閉じた曲線が凸曲線であるかどうかといった大域的な形状に関する性質も，曲率という局所的に計算できる量を用いて確かめることができるというわけです．

　そして，曲率κ(s)が極大値あるいは極小値をとる点，すなわち，κ’(s)＝０となる点を頂点といいます．別の言い方をすると，通常のなめらかな曲線上では曲率円は曲線の２次近似となるのですが，頂点とは曲率円が３階微分以上に過剰に近似されてしまう特別な点のことと解釈されます．

　「単純閉曲線上には頂点が少なくとも４個存在する」というのが４頂点定理です．円の場合はκ(s)は定数ですから，すべての点が頂点ということになります．また，楕円の場合は

　　κ(t)＝ａｂ／（ａ^2ｓｉｎ^2ｔ＋ｂ^2ｃｏｓ^2ｔ）^(3/2)

ですから，ｘ軸，ｙ軸との交点だけが頂点となります．ちょうど４つある例が楕円であり，楕円の場合が頂点数が最小になるというわけです．

　４頂点定理は「単純閉曲線上に曲率円が曲線の内側にある点が少なくとも２つ，曲線の外側にある点が少なくとも２つ存在する」とさらに精密化することができます．また，球面単純閉曲線についても４頂点定理は成り立ち，その応用としてテニスボール定理「球面単純閉曲線が球面を同じ面積の領域に２分するならばその曲線は少なくとも４個の変曲点をもつ」が知られています．

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【２】オイラーの多面体公式

　サッカーボールでは，頂点の数ｖ＝６０，辺の数ｅ＝９０ですから，面の数ｆ＝３２となってオイラーの多面体公式

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

が成り立っています．しかし，実際に頂点の数ｖや辺の数ｅを数えたら途中で間違うこと必定です．

　そこで，正五角形がｘ面，正六角形がｙ面あるとします．サッカーボールではどの頂点からも３本の辺が出ているので，５ｘ＋６ｙ個の頂点は同じ頂点が重複して３回数えられていることがわかります．したがって，頂点数ｖは

　　３ｖ＝５ｘ＋６ｙ

　同様に，５ｘ＋６ｙ個の辺は同じ辺が重複して２回数えられているので，

　　２ｅ＝５ｘ＋６ｙ

　オイラーの公式に代入すると

　　（５ｘ＋６ｙ）／３−（５ｘ＋６ｙ）／２＋ｘ＋ｙ＝２

より，ｘ＝１２

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　ここで，

（Ｑ）五角形と六角形からなる多面体には五角形が常に１２個ある

ことを証明してみます．

（Ａ）オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

　ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　　Ｆ＝ｆ3＋ｆ4＋ｆ5＋・・・

　　２Ｅ＝３ｆ3＋４ｆ4＋５ｆ5＋・・・

　　６Ｆ−２Ｅ≧１２

に代入すると

　　３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・≧１２

　地図のように２つの辺に囲まれた領域まで許すことにすると，この数え上げ公式は

　　４ｆ2＋３ｆ3＋２ｆ4＋ｆ5−ｆ7−２ｆ8−３ｆ9−・・・＝１２

となり，係数が１ずつ小さくなり，それが０となるｆ6は式中に現れない．

　ここで，

(1)ｆ2＝ｆ3＝ｆ4＝０だとすると，少なくとも１２個のｆ5がなければならないことになる

(2)多面体の面がすべてｆ5とｆ6であるならば，ｆ5＝１２（切頂二十面体）

(3)多面体の面がすべてｆ4とｆ6であるならば，ｆ4＝６（切頂八面体）

(4)多面体の面がすべてｆ4，ｆ6，ｆ8であるならば，ｆ4＝ｆ8＋６（斜方切頂立方八面体）

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