■サッカーボールの平和的利用(その5)

 正二十面体をイメージして下さい.正二十面体(頂点が12個,正三角形の面が20個ある)の各頂点からのびている5本の辺をそれぞれ1/3の長さの所で切り取り,五角錐をはずします.するとそこに12枚の正五角形が現れ,20枚の正三角形が20枚の正六角形になるわけです.

 サッカーボールは正二十面体の切頂形であって,正五角形が12枚,正六角形が20枚の合計32枚の面で構成されています.12個の正五角形はすべて離れています.

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【1】オイラーの多面体公式

 サッカーボールでは,頂点の数v=60,辺の数e=90ですから,面の数f=32となってオイラーの多面体公式

  v−e+f=2

が成り立っています.しかし,実際に頂点の数vや辺の数eを数えたら途中で間違うこと必定です.

 そこで,正五角形がx面,正六角形がy面あるとします.サッカーボールではどの頂点からも3本の辺が出ているので,5x+6y個の頂点は同じ頂点が重複して3回数えられていることがわかります.したがって,頂点数vは

  3v=5x+6y

 同様に,5x+6y個の辺は同じ辺が重複して2回数えられているので,

  2e=5x+6y

 オイラーの公式に代入すると

  (5x+6y)/3−(5x+6y)/2+x+y=2

より,x=12

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フラーレンではx=12であるから、

面数は12+y

頂点数は20+2y

辺数は30+3yとなる。

C70では頂点数20+2y=70→y=25より、

面数は27、辺数は105

C72では頂点数20+2y=72→y=26より、

面数は28、辺数は108

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