■いろいろの漸化式と母関数(その42)

 {Bk(x+1)−Bk(x)}/k!=x^k-1/(k−1)!

 {Bk(x+1)−Bk(x)}/k=x^k-1

 {Bk+1(x+1)−Bk+1(x)}/(k+1)=x^k

 Skを求めるために

  f(x+1)−f(x)=x^k

を満たす関数を見つけたいのであるが,求めている関数は.

  f(x)=Bk+1(x+1)/(k+1)

であることがわかった.

  Sk={Bk+1(n+1)−Bk+1(1)}/(k+1)

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  Bk’(x)=kBk-1(x)

B0(x)=1より,k=1を代入すると

  B1’(x)=B0(x)=1

  B1(x)=x+C=x+B1

  B2’(x)=2B1(x)=2x+2B1

  B2(x)=x^2+2B1x+C=x^2+2B1x+B2

  B3’(x)=3B2(x)=3x^2+6B1x+3B2

  B3(x)=x^3+3B1x^2+3B2x+C=x^3+3B1x^2+3B2x+B3

Bk(1)=Bk(0)=Bkより,

  B0(x)=1(定数)

  B1(x)=x−1/2

  B2(x)=x^2−x+1/6

  B3(x)=x^3−3x^2/2+x/2

  B4(x)=x^4−2x^3+x^2−1/30

  B5(x)=x^5−5x^4/2+5x^3/3−x/6

  B6(x)=x^6−3x^5+5x^4/2+x^2/2+1/42

  B7(x)=x^7−7x^6/2+7x^5/2+7x^3/6+x/6

 

Bk(x)=x^k+B1(k,1)x^k-1+B2(k,2)x^k-2+・・・+Bk

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