｛Ｂk（ｘ＋１）−Ｂk（ｘ）｝／ｋ！＝ｘ^k-1／（ｋ−１）！

　｛Ｂk（ｘ＋１）−Ｂk（ｘ）｝／ｋ＝ｘ^k-1

　｛Ｂk+1（ｘ＋１）−Ｂk+1（ｘ）｝／（ｋ＋１）＝ｘ^k

　Ｓkを求めるために

　　ｆ（ｘ＋１）−ｆ（ｘ）＝ｘ^k

を満たす関数を見つけたいのであるが，求めている関数は．

　　ｆ（ｘ）＝Ｂk+1（ｘ＋１）／（ｋ＋１）

であることがわかった．

　　Ｓk＝｛Ｂk+1（ｎ＋１）−Ｂk+1（１）｝／（ｋ＋１）

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　　Ｂk’（ｘ）＝ｋＢk-1（ｘ）

Ｂ0（ｘ）＝１より，ｋ＝１を代入すると

　　Ｂ1’（ｘ）＝Ｂ0（ｘ）＝１

　　Ｂ1（ｘ）＝ｘ＋Ｃ＝ｘ＋Ｂ1

　　Ｂ2’（ｘ）＝２Ｂ1（ｘ）＝２ｘ＋２Ｂ1

　　Ｂ2（ｘ）＝ｘ^2＋２Ｂ1ｘ＋Ｃ＝ｘ^2＋２Ｂ1ｘ＋Ｂ2

　　Ｂ3’（ｘ）＝３Ｂ2（ｘ）＝３ｘ^2＋６Ｂ1ｘ＋３Ｂ2

　　Ｂ3（ｘ）＝ｘ^3＋３Ｂ1ｘ^2＋３Ｂ2ｘ＋Ｃ＝ｘ^3＋３Ｂ1ｘ^2＋３Ｂ2ｘ＋Ｂ3

Ｂk（１）＝Ｂk（０）＝Ｂkより，

　　Ｂ0(x)＝１（定数）

　　Ｂ1(x)＝ｘ−１／２

　　Ｂ2(x)＝ｘ^2−ｘ＋１／６

　　Ｂ3(x)＝ｘ^3−３ｘ^2／２＋ｘ／２

　　Ｂ4(x)＝ｘ^4−２ｘ^3＋ｘ^2−１／３０

　　Ｂ5(x)＝ｘ^5−５ｘ^4／２＋５ｘ^3／３−ｘ／６

　　Ｂ6(x)＝ｘ^6−３ｘ^5＋５ｘ^4／２＋ｘ^2／２＋１／４２

　　Ｂ7(x)＝ｘ^7−７ｘ^6／２＋７ｘ^5／２＋７ｘ^3／６＋ｘ／６

Ｂk（ｘ）＝ｘ^k＋Ｂ1（ｋ，１）ｘ^k-1＋Ｂ2（ｋ，２）ｘ^k-2＋・・・＋Ｂk

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