Ｂ2k＝（−１）^k-1 ・２（２ｋ）！／（２π）^2k・ζ（２ｋ）

すなわちベルヌーイ数Ｂn は，オイラーのゼータ関数

　　ζ（2ｓ）＝Σ１／ｎ^2s ＝１／１^2s ＋１／２^2s ＋１／３^2s ＋１／４^2s ＋・・・

の計算にも重要な役割を果たしていることを述べましたが，元来はベキ和の公式

　　S(s,n)=Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

を求めるために考案されたものです．

Ｓ1＝Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Ｓ2＝Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Ｓ3＝Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Ｓ4＝Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Ｓ5＝Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Ｓ6＝Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Ｓ7＝Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

ですから，左辺は，ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができます．また，Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）です．

　ベルヌーイはこの式の列を見て，次のようなパターンを発見しました．それを一般式の形で書くと，Σｋ^sは

S(s,n)

=1/(s+1){B0n^(s+1)+(s+1,1)B1n^s+･･･+(s+1,s)Bsn}

=1/(s+1)Σ(K=0-s)(s+1,k)Ｂk(n+1)^(s+1-k)

とＢn を含む式で表すことができます．

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　具体的に係数Ｂn を求めてみましょう．有名なベルヌーイ数列｛Ｂn ｝の指数型母関数はｘ／（ｅｘｐｘ −１）で与えられます．すなわち，ベルヌーイ数は

ｘ／（ｅｘｐｘ−１）

＝Ｂ0/0!＋Ｂ1 ／１！ｘ＋Ｂ2 ／２！ｘ^2＋Ｂ3 ／３！ｘ^3＋・・・

＝ΣＢn ｘ^n／ｎ！

で定義される有理数で，係数Ｂn はベルヌーイ数と呼ばれます．容易にわかるようにlim(x→0)ｘ／（ｅｘｐｘ −１）=1が成立します．

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　定義より，ベルヌーイ級数は，べき級数

（ｅｘｐｘ −１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ1 ＋１／３！ｘ^2 ＋１／４！ｘ^3 ＋・・・

の反転級数と考えることができます．

ｅｘｐｘ ＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ2 ＋・・・

ですから

ｘ／（ｅｘｐｘ −１）

=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)

=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)

=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･

=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･

　これより，Ｂ0=1,Ｂ1 ＝−１／２で，ｘ／（ｅx −１）−Ｂ1 ／１！ｘ＝ｘ／２・（ｅx ＋１）／（ｅx −１）は，偶関数ですから，奇数項は第一項以外は０で，偶数項はＢ2 ＝１／６，Ｂ4 ＝−１／３０，Ｂ6 ＝１／４２，Ｂ8 ＝−１／３０，Ｂ10＝５／６６，Ｂ12＝−６９１／２７３０，Ｂ14＝７／６，Ｂ16＝−３６１７／５１０，Ｂ18＝４３８６７／７９８であとは分子が急速に大きくなり，たとえば，Ｂ32＝−７７０９３２１０４１２１７／５１０，Ｂ34＝２５７７６８７８５８３６７／６です．分母は必ず６で割り切れます．

　ベルヌーイ数については，再帰公式

>　　（Ｂ＋１）^n-B＾n=0

が成り立ちます．ただし，２項展開してからB^nをBnで置き換えることにします．ベルヌーイ数は数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，正則素数の判定にも顔を出す興味深い数となっています．

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