■いろいろの漸化式と母関数(その36)

ζ(2)ζ(2n−2)+ζ(4)ζ(2n−4)+・・・+ζ(2n−4)ζ(4)+ζ(2n−2)ζ(2)=(n+1/2)ζ(2n)

でなく,もし,

(1+1/2)ζ(2)・(n−1/2)ζ(2n−2)+(2+1/2)ζ(4)・(n−3/2)ζ(2n−4)+・・・+(n−3/2)ζ(2n−4)・(2+1/2)ζ(4)+(n−1/2)ζ(2n−2)・(1+1/2)ζ(2)=(n+1/2)ζ(2n)

ならば,カタラン数と同様にして偶数ゼータに対する母関数を作ることができるのであるが,とりあえず(n+1/2)は無視して・・・

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 母関数を

  Z(x)=z(0)+z(2)x^2+z(4)x^4+・・・+z(2n)x^2n+・・・

とおく.これを2乗すると

  Z(x)^2=z(0)z(0)+(z(0)z(2)+z(2)z(0))x^2+ (z(0)z(4)+z(2)z(2)+z(4)z(0))x^4+・・・

 ここで,

  z(0)z(0)=z(2)

  z(0)z(2)+z(2)z(0)=z(4)

  z(0)z(4)+z(2)z(2)+z(4)z(0)=z(6)

とおくと,

  Z(x)^2=z(2)+z(4)x^2+ z(6)x^4+・・・

 次数を揃えるために,両辺にx^2をかけて

  x^2Z(x)^2=z(2)x^2+z(4)x^4+ z(3)x^6+・・・

  x^2Z(x)^2=Z(x)−z(0)

 Z(x)に関する2次方程式を解いて,母関数は

  Z(x)={z(0)−(1−4z(0)x^2)^1/2}/2x^2

 ここで,z(0)=1とするとニュートンの二項展開により,一般項

  z(2n)=2nCn/(n+1)=(2n)!/(n+1)!n!

が得られる.

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