Ｋ6のすべての２頂点間を２色の線で結ぶと，点をつなぐ線がすべて赤かすべて青の三角形ができる．＝Ｋ6の辺を２色に塗り分ければ必ず単色のＫ3が含まれる．

　色を３色に増やす．Ｋ16は同色の三角形Ｋ3が存在しないように配色することができるが，Ｋ17では同色の三角形Ｋ3がどこかにできる．

　色を４色に増やす．Ｋ66では同色の三角形Ｋ3がどこかにできる．（証明されているわけではない）

　色をＣ色に増やす．Ｋmでは同色の三角形Ｋ3がどこかにできる．

　　Ｎ（１）＝２，Ｎ（２）＝５，Ｎ（３）＝１６

　　Ｎ（ｑ）≦Σｑ！１／ｋ！

であるが，エルデシュは

　　Ｎ（ｑ）＝ｑ！Σ１／ｋ！

と予想している．これによると，Ｎ（４）＝６５であるが，Ｋ65に対する良い４配色は見いだされていない．つまり，Ｎ（４）＝６５であると証明されているわけではないことに注意．

　Ｎ（ｑ）はラムゼー理論と密接な関係にあるが，高次ラムゼー数の大多数はまだ知られていないのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］拡張

　Ｋ6のすべての２頂点間を２色の線で結ぶと，点をつなぐ線がすべて赤かすべて青の三角形ができる．＝Ｋ6の辺を２色に塗り分ければ必ず単色のＫ3が含まれる．

　２色塗りのＫ6は単色のＫ3を含む．

　２色塗りのＫ18は単色のＫ4を含む．

　２色塗りのＫnは単色のＫmを含むものとする．

しかし，ｍ＝５の場合でもｎの値は知られていない．すなわち，

　２色塗りのＫnは単色のＫ5を含む．ｎ＝？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［２］もうひとつの拡張

　Ｋ6の２色着色では単色三角形が少なくとも２個含まれる．

　Ｋ7の２色着色では単色三角形が少なくとも４個含まれる．

　Ｋnの２色着色では単色三角形が少なくとも△個含まれる．

頂点ｉに結合している赤辺の数をｒiとすると，青辺の数はｎ−１−ｒi

単色三角形の数は

△＝（ｎ，３）−１／２・Σｒi（ｎ−１−ｒi）

△≧（ｎ，３）−［ｎ／２［｛（ｎ−１）／２｝^2］］

ｎ＝６のとき

△≧２０−［３［２５／４］］＝２

ｎ＝７のとき

△≧３５−［７／２［１８］］＝４

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝