■いろいろの漸化式と母関数(その27)

 CnH2n+1OHの構造異性体数は,関数方程式

 f(x)=1+x/6{f(x)^3+3f(x)f(x^2)+2f(x^3)}

=1+x+x^2+2x^3+4x^4+・・・

によって満足されるという.

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  f(x)=Σanx^n (n≧0)

とおくと,

  f(x^2)=Σanx^2n

  f(x^3)=Σanx^3n

f(x)f(x^2)=Σbnx^n

=(a0+a1x+a2x^2+・・・)(a0+a1x^2+a2x^4+・・・)(

b0=(a0)^2

b1=a1a0

b2=a2a0+a1a0

{f(x)}^3=Σbnx^n (n≧0)

=(a0+a1x+a2x^2+・・・)(a0+a1x+a2x^2+・・・)(a0+a1x+a2x^2+・・・)

b0=(a0)^3

b1=a1a0a0+a0a1a0+a0a0a1

b2=a2a0a0+a0a2a0+a0a0a2+a1a1a0+a1a0a1+a0a1a1

 これを求めるのもかなり面倒である.

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