［Ｑ］関数方程式

　　ｆ（ｘ）＝１／（１＋ｘ）・ｆ（２√ｘ／（１＋ｘ））

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　通常型母関数

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n，ｎ≧０

　指数型母関数

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n／ｎ！，ｎ≧０

が用いられるが，ここでは通常型母関数

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n　（ｎ≧０）

とおくと，

　　ｆ（２√ｘ／（１＋ｘ）＝Σ２^nａnｘ^n/2／（１＋ｘ）^n

　　１／（１＋ｘ）・ｆ（２√ｘ／（１＋ｘ））＝Σ２^nａnｘ^n/2／（１＋ｘ）^n+1

１／（１＋ｘ）＝（１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋・・・）より，

Σａnｘ^n＝Σ２^nａnｘ^n/2（１−ｘ＋ｘ^2−ｘ^3＋・・・）^n+1

ｎが奇数のとき，ａn＝０であることがわかる．

ｎが偶数のときはかなり面倒である．

［Ａ］ｆ（ｘ）＝１＋１／４ｘ^2＋９／６４・ｘ^4＋２５／２５６・ｘ^6＋１２２５／１６３８４・ｘ^8＋・・・

＝１＋（１／２）^2ｘ^2＋（１・３／２・４）^2ｘ^4＋（１・３・５／２・４・６）^2ｘ^6＋（１・３・５・７／２・４・６・８）^2ｘ^8＋・・・

はこれを満たす．

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