■いろいろの漸化式と母関数(その26)

[Q]関数方程式

  f(x)=1/(1+x)・f(2√x/(1+x))

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 通常型母関数

  f(x)=Σanx^n,n≧0

 指数型母関数

  f(x)=Σanx^n/n!,n≧0

が用いられるが,ここでは通常型母関数

  f(x)=Σanx^n (n≧0)

とおくと,

  f(2√x/(1+x)=Σ2^nanx^n/2/(1+x)^n

  1/(1+x)・f(2√x/(1+x))=Σ2^nanx^n/2/(1+x)^n+1

1/(1+x)=(1−x+x^2−x^3+・・・)より,

Σanx^n=Σ2^nanx^n/2(1−x+x^2−x^3+・・・)^n+1

nが奇数のとき,an=0であることがわかる.

nが偶数のときはかなり面倒である.

[A]f(x)=1+1/4x^2+9/64・x^4+25/256・x^6+1225/16384・x^8+・・・

=1+(1/2)^2x^2+(1・3/2・4)^2x^4+(1・3・5/2・4・6)^2x^6+(1・3・5・7/2・4・6・8)^2x^8+・・・

はこれを満たす.

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