ｎ個の要素に対する完全順列の数をモンモール数と呼びます．一般項は

　　ｆ（ｎ）＝ｎ！Σ（−１）^k／ｋ！

また，漸化式

　　ｆ（ｎ）＝（ｎ−１）（ｆ（ｎ−１）＋ｆ（ｎ−２）），ｎ≧２

　　ｆ（ｎ＋１）＝ｎ｛ｆ（ｎ）＋ｆ（ｎ−１）），ｎ≧１

が成り立ちます．

　通常型母関数

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n，ｎ≧０

　指数型母関数

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n／ｎ！，ｎ≧０

が用いられるが，ここでは完全順列数｛ｆ（ｎ）｝の指数型母関数Ｄ（ｘ）を求めてみたい．

　　ｆ’（ｘ）＝Σａnｘ^n-1／（ｎ−１）！，ｎ≧１

　　ｆ’（ｘ）＝Σａn+1ｘ^n／ｎ！，ｎ≧０

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　　ｆ（ｎ＋１）＝ｎ｛ｆ（ｎ）＋ｆ（ｎ−１）），ｎ≧１

　　ｆ（ｎ＋１）ｘ^n＝ｎｆ（ｎ）ｘ^n＋ｎｘｆ（ｎ−１）ｘ^n-1），ｎ≧１

　　ｆ（ｎ＋１）ｘ^n／ｎ！＝ｘｆ（ｎ）ｘ^n-1／（ｎ−１）！＋ｘｆ（ｎ−１）ｘ^n-1／（ｎ−１）！，ｎ≧１

　　Ｄ’（ｘ）＝ｘＤ’（ｘ）＋ｘＤ（ｘ）

　　（１−ｘ）Ｄ’（ｘ）＝ｘＤ（ｘ）

　　Ｄ（ｘ）＝（１−ｘ）ｅｘｐ（−ｘ）

　　→ｆ（ｎ）＝ｎ！Σ（−１）^k／ｋ！

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