■いろいろの漸化式と母関数(その19)

 n次の行列式(determinant)はn個の項の積のn!個の項に適当な符号をつけた和として表される.符号をつけずに全部+にして加えた式はpermanentと呼ばれる.訳語はないが,強いて訳せば永久式である.

 2つの行(または列)が比例するとき,行列式の値は0となるから,すべての成分aij=1/nの行列Jnの行列式は0であるが,永久式の値はn!/n^nである.

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【1】ファン・デル・ヴェルデン予想

 n次の行列で成分aij≧0,行和=1,列和=1のとき,永久式の値≧n!/n^nである.等号はJnのときのみ成立する.

 この予想は2人のロシア人Egorycev(1980年),Falikman(1981年)により独立にまったく別な方法で証明された.

 ところで,

  n!は直角三角錐

  n^nは立方体

と関係している部分である.すなわち,n^n/n!は1辺の長さnの立方体を切断した直角三角錐の体積になる.

 スターリングの近似

  n!〜(2πn)^1/2n^nexp(−n)

  n!≧n^nexp(−n)

の組み合わせ論的証明も可能である.

 n^nは{1,2,3,・・・n}から{1,2,3,・・・n}へのinto写像,n!は{1,2,3,・・・n}から{1,2,3,・・・n}へのonto写像であるからだ.

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