ｎ次の行列式（determinant）はｎ個の項の積のｎ！個の項に適当な符号をつけた和として表される．符号をつけずに全部＋にして加えた式はpermanentと呼ばれる．訳語はないが，強いて訳せば永久式である．

　２つの行（または列）が比例するとき，行列式の値は０となるから，すべての成分ａij＝１／ｎの行列Ｊnの行列式は０であるが，永久式の値はｎ！／ｎ^nである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ファン・デル・ヴェルデン予想

　ｎ次の行列で成分ａij≧０，行和＝１，列和＝１のとき，永久式の値≧ｎ！／ｎ^nである．等号はＪnのときのみ成立する．

　この予想は２人のロシア人Egorycev（１９８０年），Falikman（１９８１年）により独立にまったく別な方法で証明された．

　ところで，

　　ｎ！は直角三角錐

　　ｎ^nは立方体

と関係している部分である．すなわち，ｎ^n／ｎ！は１辺の長さｎの立方体を切断した直角三角錐の体積になる．

　スターリングの近似

　　ｎ！〜（２πｎ）^1/2ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

　　ｎ！≧ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

の組み合わせ論的証明も可能である．

　ｎ^nは｛１，２，３，・・・ｎ｝から｛１，２，３，・・・ｎ｝へのinto写像，ｎ！は｛１，２，３，・・・ｎ｝から｛１，２，３，・・・ｎ｝へのonto写像であるからだ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝