【１】アダマール行列

　アダマール行列Ｈnは＋１か−１の要素をもつｎ×ｎ行列で，その行と列は互いに直交している．各行または列のノルム（各要素の２乗和）はｎであるから，　　ＨnＨn’＝Ｈn’Ｈn＝ｎＩn

が成り立つ．

　　ｄｅｔ｜ｎＩn｜＝ｎ^n

より

　　ｄｅｔ｜Ｈn｜＝ｎ^n/2

　最も簡単なアダマール行列は

　　Ｈ2 ＝［１，　１］

　　　　　［１，−１］

である．すべての他のアダマール行列はｎ＝４ｋであることが必要である．

　とくに興味深いのは「直積」

　　Ｈ4＝Ｈ2×Ｈ2，Ｈ8＝Ｈ2×Ｈ2×Ｈ2，・・・

によって，Ｈ2から得られるｎ＝２^mのシルベスタ型のアダマール行列で，

　　　　　［１，　１，　１，　１］

　　Ｈ4 ＝［１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１］

　　　　　［］，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，　１，　１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，　１，−１，　１，−１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，　１，　１，−１，−１］

　　Ｈ8 ＝［１，−１，−１，　１，　１，−１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，　１，　１，−１，−１，−１，−１］

　　　　　［１，−１，　１，−１，−１，　１，−１，　１］

　　　　　［１，　１，−１，−１，−１，−１，　１，　１］

　　　　　［１，−１，−１，　１，−１，　１，　１，−１］

　アダマール行列は，ＦＦＴ（高速フーリエ変換）の基本原理とも関係している．

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【２】アダマールの定理

>

　もっと一般に，各成分が１か−１のｎ×ｎ行列の行列式はｎ^n/2以下である．

　アダマールの定理の証明は，行列式の幾何学的意味を理解すれば簡単である．行列式の絶対値は，ｎ個のそれぞれの長さ√ｎの行ベクトルが作るｎ次元平行六面体の体積だから，その値は（√ｎ）^n＝ｎ^n/2以下である．等号はベクトル同士が全部直交するときに限る．

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【３】もうひとつのアダマール行列

　０，＋１を成分とする行列で，２つの異なる行または列を取ってくると，成分の半分は一致し，残り半分が違っている行列もアダマール行列とよばれる．

　アダマールはこのような行列が存在するのはｎが２または４の倍数の場合だけであることを証明した．１９３３年，ベイリーはｎが４の倍数で，かつ，ｐを奇素数として，ｎ＝２^a（ｐ^b＋１）であれば，アダマール行列は必ず存在することを証明した．

　ベイリーの定理から外れる４の倍数は，９２，１１６，１５６，１７２，１８４，１８８，２３２，２３６，２６０，２６８などである．

　アダマール行列予想とは，ｎが４の倍数であればアダマール行列は必ず存在するというものである．現在発見されていない最小のアダマール行列はｎ＝６６８である．

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