フィボナッチ数列の漸化式：ａn＝ａn-1＋ａn-2　（ｎ≧２），ａ0＝１，ａ1＝１を考える．

　その母関数を

　　ｆ（ｘ）＝Σａnｘ^n　（ｎ≧０）

とおくと，

　　ａnｘ^n＝ｘａn-1ｘ^n-1＋ｘ^2ａn-2ｘ^n-2　（ｎ≧２）

　　Σａnｘ^n＝ｘΣａn-1ｘ^n-1＋ｘ^2Σａn-2ｘ^n-2

　　ｆ（ｘ）−１−ｘ＝ｘ｛ｆ（ｘ）−１｝＋ｘ^2ｆ（ｘ）

　　ｆ（ｘ）＝１＋ｘｆ（ｘ）＋ｘ^2ｆ（ｘ）

ｆ（ｘ）＝１／（１−ｘ−ｘ^2）

ｆ（ｘ）＝１／（１−αｘ）＋１／（１−βｘ）

　　α＋β＝１，αβ＝−１

　　α＝（１＋√５）／２，β＝（１−√５）／２

　　ａn＝（α^n+1−β^n+1）／√５

　　ｎ→∞のとき，（ａn）^1/n→α

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［おまけ］カタラン数

Ｂ（４）＝｛｛１，２，３，４｝｝，｛｛１，２，３｝，｛４｝｝，・・・｛｛１｝，｛２｝，｛３｝，｛４｝｝などの分割は「源氏香」方式の図式で表すことができる．

　その際，弧が交差しないようにとれる分割を非交差分割という．Ｂ（４）＝１５であるが，｛｛１，３｝，｛２，４｝｝のみが交差分割で，その他は飛行差分勝である．

　非交差分割の個数は，カタラン数

　　（２ｎ，ｎ）／（ｎ＋１）

で与えられる．ｎ＋４のとき，

　　（８，４）／５＝８・７・６・５／２４・５＝１４

　また，カタラン数の母関数は

　　Ｃ（ｚ）＝ｘ＋｛Ｃ（ｚ）｝^2

　　Ｃ（ｚ）＝｛１−√（１−４ｚ）｝／２ｚ

で与えられる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝