ケプラーの方程式は

　　exp(x)(x-1)=exp(-x)(x+1)

　　exp(2x)=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1)

　　exp(-2x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x-1)

に帰着される。

　両辺の対数をとって

2x=log(x+1)/(x-1)

log(x+1)=x-x^2/2+x^3/3+x^4/4-・・・

log(x+1)/(x-1)=2{1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)

から初期値を概算することもできる。

　　→ｘ＝1.1996678640257734・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

よく知られた結果

　　１−１／２＋１／３−１／４＋・・・＝ｌｏｇ２

は

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）＝ｘ−ｘ^2／２＋ｘ^3／３−ｘ^4／４＋・・・

から得られる．

　ｘを−ｘで置き換えた級数

　　ｌｏｇ（１−ｘ）＝−ｘ−ｘ^2／２−ｘ^3／３−ｘ^4／４−・・・

を組み合わせると

　　ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）＝２（ｘ＋ｘ^3／３＋ｘ^5／５＋ｘ^7／７＋・・・）が得られる．

　｜ｘ｜＜１でしか有効ではないが，このとき，（１＋ｘ）／（１＋ｘ）はすべての正価を取ることができる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2x=2{1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)

x={1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)

x^2=1+1/3x^2+1/5x^4+1/7x^6+・・・

x^2=1+1/3x^2,x^2=y

y^2=y+1/3

y=(1+(7/3)^1/2)/2

y=1.26376

x=1.12417を初期値にすればよい

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝