■exp(x)(x-1)=exp(-x)(x+1) (その9)
ケプラーの方程式は
exp(x)(x-1)=exp(-x)(x+1)
exp(2x)=(x+1)/(x-1)=1+2/(x-1)
exp(-2x)=(x-1)/(x+1)=1-2/(x-1)
に帰着される。
両辺の対数をとって
2x=log(x+1)/(x-1)
log(x+1)=x-x^2/2+x^3/3+x^4/4-・・・
log(x+1)/(x-1)=2{1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)
から初期値を概算することもできる。
→x=1.1996678640257734・・・
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よく知られた結果
1−1/2+1/3−1/4+・・・=log2
は
log(1+x)=x−x^2/2+x^3/3−x^4/4+・・・
から得られる.
xを−xで置き換えた級数
log(1−x)=−x−x^2/2−x^3/3−x^4/4−・・・
を組み合わせると
log(1+x)/(1−x)=2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+・・・)が得られる.
|x|<1でしか有効ではないが,このとき,(1+x)/(1+x)はすべての正価を取ることができる.
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2x=2{1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)
x={1/x+1/3x^3+1/5x^5+1/7x^7+・・・} (x^2>1)
x^2=1+1/3x^2+1/5x^4+1/7x^6+・・・
x^2=1+1/3x^2,x^2=y
y^2=y+1/3
y=(1+(7/3)^1/2)/2
y=1.26376
x=1.12417を初期値にすればよい
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