■サッカーボールの非平和的利用（その２）
軍事技術オタクのＫ氏が爆縮レンズについて教えてくれた．爆縮レンズの爆薬は切頂２０面体（サッカーボール）の３２個の面に配置するが最適であると計算されているようだ．切頂２０面体では
［１］中心から正五角形面までの距離
Ｈ0＝（２＋τ^4）／２√（τ√５）＝２．３２７４４
［２］中心から正六角形面までの距離
Ｈ2＝τ^2√３／２＝２．２６７２８
と計算される．
wikipediaのファットマン（長崎に投下されたプルトニウム型原爆）の図を見て欲しい．リトルボーイ（広島に投下されたウラン型原爆）にはこのような３２面体構造はみられない．
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【１】切頂２０面体の計量
正２０面体の各辺を３等分したところで切頂すると，正五角形と正六角形で囲まれた図形ができる．これがサッカーボールであるが，その体積を求めてみよう．
必要ならば１辺の長さ１の体積
正２０面体：５τ^2／６＝（１５＋５√５）／１２
正１２面体：τ^4√５／２＝（１５＋７√５）／４
を既知としてもよい．
正２０面体が正１２面体の正五角形面の上に五角錐を載せたものであれば計算は簡単であるが，そううまくはいかないものである．そこで，奥の手をだそう．
コラム「単純リー環を使った面数数え上げ（その１４２）」のように，正２０面体の場合，ｐ＝３，ｑ＝５，ｈ＝１０を代入すると
Ｐ0（０，０，０）
Ｐ1（１，０，０）
Ｐ2（１，√（１／３），０）
Ｐ3（１，√（１／３），（√５＋１）／√３（√５−１））
となって，
Ｐ0（０，０，０）
Ｐ1（１，０，０）
Ｐ2（１，ｔａｎθ，０）＝（１，√（１／３），０）
Ｐ3（１，ｔａｎθ，τ^2／２ｃｏｓθ）＝（１，√（１／３），τ^2／√３）
と一致する．
ａ1＝１，ａ2＝√（１／３），ａ3＝τ^2／√３
サッカーボールは，正２０面体系｛３，５｝（１１０）であるから，
ｘj／ａj＝ｙj，ｙ0＝１，ｙn＝０（ｘn＝０）
とおく．
（ｙj-1−ｙj）／（１／ａj-1^2＋１／ａj^2）^1/2＝（ｙj−ｙj+1）／（１／ａj^2＋１／ａj+1^2）^1/2
を計算して
１−ｙ1＝（ｙ1−ｙ2）／√４＝Ｌ
（ｙ2−ｙ3）／√（３＋３／τ^4）＝０→ｙ2＝ｙ3＝０，ｙ1＝２／３（辺の三等分点），Ｌ＝１／３
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので
ａ＝（−ａ1，−ａ2，・・・，−ａn）
ｑ＝（ｘ1−ａ1，ｘ2−ａ2，ｘ3−ａ3，・・・，ｘn−ａn）
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝−（ａ1ｘ1＋・・・＋ａnｘn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｃ0＝−（ａ1^2ｙ1＋・・・＋ａn^2ｙn）＋（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）
ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ｄ0‖，‖ｄ0‖＝（ａ1^2＋・・・＋ａn^2）^1/2
ｃ0＝ａ1^2＋ａ2^2＋ａ3^2−ａ1^2ｙ1＝１＋１／３＋τ^4／３−２／３
ｄ0＝（１＋１／３＋τ^4／３）^1/2＝（４／３＋τ^4／３）^1/2
ｈ0＝（２＋τ^4）／３・√｛３／（４＋τ^4）｝
辺の長さを１に規格化する．辺の長さは２Ｌ．したがって，
Ｈk＝ｈk／２Ｌ→Ｈ0＝（２＋τ^4）／２・√｛３／（４＋τ^4）｝
Ｈ0＝（２＋τ^4）／２√（τ√５）
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では
ａ＝（０，・・・，０，−ａn）
ｃn-1＝−ａnｘn＋ａn^2＝−ａn^2ｙn＋ａn^2
ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ｄn-1‖，‖ｄn-1‖＝（ａn^2）^1/2
ａn^2ｙn＝０
→ｈ2＝ａ3＝τ^2／√３，Ｈ2＝ｈ2／２Ｌ＝τ^2√３／２
また，
→Ｖ2＝１／２・ｔａｎ５４°×５／２＝｛（５＋２√５）／５｝^1/2・５／４（正五角形の面積）
→Λ2＝３√３／２（正六角形の面積）
Ｖ＝（Ｎ0・Ｖ2・Ｈ0＋Ｎ2・Λ2・Ｈ2）／３
＝｛１２・５｛（５＋２√５）／５｝^1/2／４・（２＋τ^4）／２√（τ√５）＋２０・３√３／２・τ^2√３／２｝／３
＝５／２・τ／√５・（２＋τ^4）＋１５τ^2
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［１］中心から正五角形面までの距離
Ｈ0＝（２＋τ^4）／２√（τ√５）＝２．３２７４４
［２］中心から正六角形面までの距離
Ｈ2＝τ^2√３／２＝２．２６７２８
数値自体を計算するのは難しいかもしれないが，結果は自明である．なぜならば，
［１］切頂２０面体は球に内接する（外接球をもつ）→中心から頂点までの距離は等しい．
［２］面の外接円が大きいほど中心までの距離は小さくなる．
［３］中心から正六角形面までの距離の方が小さい．
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