■ベキ和と未定係数法(その15)

[Q]Σ1/k2^k

[Q]Σ1/k^22^k

に対応する超幾何関数を予測することはできないだろうか?

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 海野啓明先生(仙台高専)に教えていただいたのであるが,

  f(x)=Σ(x/2)^k=1/(1−x/2)−1

=2/(2−x)−1,|x|<2

 積分すると

  F(x)=Σ(x/2)^k/k=log2−log(2−x)

さらに,

  ∫(0,x){log2−log(2−t)}/tdt=Σ(x/2)^k/k^2

  ∫(x,2){log2−log(2−t)}/tdt=π^2/6−Σ(x/2)^k/k^2

 部分積分より,級数展開

Σ1/k2^k=log2

Σ1/k^22^k=π^2/12−1/2・(log2)^2

が得られるという.

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[補]

  1/(1−z)=1+z+z^2+・・・

この導関数と積分は

  1/(1−z)^2=1+2z+3z^2+・・・

  ln(1/(1−z))=z+z^2/2+z^3/3+・・・

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