■ベキ和と未定係数法(その12)

[Q]Σn^2/2^n=1^2/2+2^2/4+3^2/8+・・・=?

[A]6

Σn^2/2^nが第0項から始まるようにパラメータをずらします.

Σ(n+1)^2/2^(n+1)

この級数の項比は

an+1x^n+1/anx^n=(n+2)^2/2(n+1)^2*x

an+1x^n+1/anx^n=(n+2)^2/2(n+1)*x/(n+1)

ですから,

Σ(n+1)^2/2^(n+1)=a02F1(2,2|1/2)

(1 | )

また,a0=1/2より

Σ(n+1)^2/2^(n+1)=1/22F1(2,2|1/2)

(1 | )

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2F1(2,2|x)=(1+x)/(1−x)^3

(1 | )

1/22F1(2,2|1/2)=6

(1 | )

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