■ベキ和と未定係数法(その8)

Σ1/n2^nが第0項から始まるようにパラメータをずらします.

Σ1/(n+1)2^(n+1)

この級数の項比は

an+1x^n+1/anx^n=(n+1)/2(n+2)*x

an+1x^n+1/anx^n=(n+1)^2/2(n+2)*x/(n+1)

ですから,

Σ1/(n+1)2^(n+1)=a02F1(1,1|1/2)

(2 | )

また,a0=1/2より

Σ1/(n+1)2^(n+1)=1/22F1(1,1|1/2)

(2 | )

これより級数Σ1/n2^nは超幾何級数であると同定されます.

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2F1(1,1|x)=−1/x・ln(1−x)

(2 | )

2F1(1,1|1/2)=2・ln(2)

(2 | )

1/22F1(1,1|1/2)=ln(2)

(2 | )

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