■ベキ和と未定係数法(その5)

 (その4)の種明かしをしたい.

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  S=Σn/2^n=1/2+2/4+3/8+・・・+n/2^n

  1/2・S=     1/4+2/8+3/16+・・・+n/2^n+1

辺々差し引くと

  1/2・S=(1/2+1/4+1/8+1/16+・・・+1/2^n)−n/2^n+1

n→∞のとき

(1/2+1/4+1/8+1/16+・・・+1/2^n)→1

n/2^n+1→0

したがって,S→2

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  T=Σn^2/2^n=1/2+4/4+9/8+・・・+n^2/2^n

  1/2・T=      1/4+4/8+9/16+・・・+n^2/2^n+1

辺々差し引くと

  1/2・T=(1/2+3/4+5/8+7/16+・・・+(2n−1)/2^n)−n^2/2^n+1

 ここで,2n−1=n^2−(n−1)^2である.

n→∞のとき

(1/2+3/4+5/8+7/16+・・・+(2n−1)/2^n)

=2Σn/2^n−Σ1/2^n→2・2−1=3

n^2/2^n+1→0

したがって,T→6

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  U=Σn^3/2^n=1/2+8/4+27/8+・・・+n^3/2^n

  1/2・U=      1/4+8/8+27/16+・・・+n^3/2^n+1

辺々差し引くと

  1/2・U=(1/2+7/4+19/8+54/16+・・・+(3n^2−3n+1)/2^n)−n^3/2^n+1

 ここで,3n^2−3n+1=n^3−(n−1)^3である.

n→∞のとき

(1/2+7/4+19/8+54/16+・・・+(3n^2−3n+1)/2^n)

=3Σn^2/2^n−3Σn/2^n+Σ1/2^n→3・6−3・2+1=13

n^3/2^n+1→0

したがって,U→26

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[Q]Σn^4/2^n=?

[A] もう詳細な計算はしないが

n^4−(n−1)^4=4n^3−6n^3+4n−1

1/2・V=4Σn^3/2^n−6Σn^2/2^n+4Σn/2^n−Σ1/2^n→4・26−6・6+4・2−1=75

V→150

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