■ベキ和と未定係数法(その2)

 高校生の頃,数学や化学の問題に対して未定係数法を使ったことがあるだろう.ここでは,その1例を・・・

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  1^2+2^2+3^2+・・・+n^2

について,(未定係数をもつ)3次多項式

  an^3+bn^2+cn+d

になるだろうと当たりをつけておく.

[1]n=1を代入

  a+b+c+d=1

[2]n=2を代入

  8a+4b+2c+d=5

 

[3]n=3を代入

  27a+9b+3c+d=14

[4]n=4を代入

  64a+16b+4c+d=30

 4元連立方程式を解いて,

  a=1/3,b=1/2,c=1/6,d=0

  1^2+2^2+3^2+・・・+n^2=n^3/3+n^2/2+n/6

[5]n=5を代入

  1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55

  5^3/3+5^2/2+5/6=55

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[まとめ]

  1^2+2^2+3^2+・・・+n^2=n^3/3+n^2/2+n/6

=n(n+1)(2n+1)/6

=n(n+1/2)(n+1)/3

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