■ピザの分割(その38)

 r^2=cos2(θ−α)+R^2−{4R^2(cos(θ−α))^2−(sin2(θ−α))^2}^1/2

[1]∫cos2(θ−α)dθ=1/2・sin2(θ−α)・・・周期π

[2]∫cos(θ−α){R^2−(sin(θ−α))^2}^1/2dθ

=R/2・sin(θ−α){1−(sin(θ−α)/R)^2}^1/2+2R^2・arcsin(sin(θ−α)/R)・・・周期2π

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【1】45°8ピース

[1]a+c=0,b+d=0,e+g=0,f+h=0

[2]a+e=0,b+f=0,c+g=0,d+h=0

  a+c+e+g=b+d+f+h=0は[1][2]を満たす.

 2人で公平にピザを分けることはできるが,4人で公平にピザを分けること

  a+e=0,b+f=0,c+g=0,d+h=0

は[2]を満たすが[1]を満たさない.

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【2】60°6ピース

[1]a+c=0,b+e=0,d+f=0

[2]a+d=0,b+e=0,c+f=0

  a+c+e=b+d+f=0は[1][2]とも満たさない.4人で公平にピザを分けること

  a+d=0,b+e=0,c+f=0

は[2]を満たすが[1]を満たさない.

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【3】22.5°16ピース

[1]a+e=0,b+f=0,c+g=0,d+h=0

   e+i=0,f+j=0,g+k=0,h+l=0

   i+m=0,j+n=0,k+o=0,l+p=0

[2]a+i=0,b+j=0,c+k=0,d+l=0

   m+e=0,n+f=0,o+g=0,p+h=0

[1][2]より

a+c+e+g+i+k+m+o=b+d+f+h+j+l+n+pは成り立つ.

a+e+i+m=c+g+k+o=b+f+j+n=d+h+l+pも成り立つ.したがって,2人でも4人でも均等に分けることができる.

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