■ピザの分割(その37)

2枚の不規則な形の1枚の不規則な形のハムを挟んだハムサンドを想像してみてほしい。これをナイフで1回切るだけでパンを2等分、ハムも2等分できるだろうか?

チーズもはさみたければそうしても構わないが、もっと一般的にn次元空間にn個の物体があるとき、n個の物体をそれぞれ2等分するn次元超平面は存在するだろうか?

それぞれを2等分するような超平面は必ず存在するというのが、ハム・サンドイッチ定理である。

私はハム・サンドイッチ定理よりピザ定理がお気に入りである。自分で一般解を求めたことがあるからだろう。

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【1】ピザの公平な分け方ついて

 丸いピザのなかに1点を決める.それは中心点でなくてもかまわない.その点から45°ずつ直線を引いて8ピース(a,b,c,d,e,f,g,h)に分ける.このとき,ひとつおきのピースの面積の和

  a+c+e+g=b+d+f+h

は等しい.二人がけんかをしないためには正確に中心点を決める必要はまったくないのである.

ピザ分割問題では45°ずつ8ピース分割になっているが,90°ずつ4ピース分割ではNGであることはすぐにわかる.それでは60°ずつ6ピース分割とか30°ずつ12ピース分割ではいけないのだろうか?

30°ずつ12ピース分割の場合,2人で公平にピザを分けること

a+c+e+g+i+k=b+d+f+h+j+l

はできないが,3人で公平にピザを分けること

a+d+g+j=b+e+h+k=c+f+i+l

は可能である.

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【2】一般化したピザ分割定理

「丸いピザのなかに1点を決める.それは中心点でなくてもかまわない.その点から90/N°ずつ直線を引いて4Nピースに分ける.このとき,N個おきのピースの面積の和は等しい.」

 すなわち,N人で公平に分割したいのであれば,4N個に等角度分割すればよい.4人の場合は16ピース,5人の場合は20ピースに分ければよいのである.

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