【５】円周上のｎ点

円周上にｎ点をとり，円周上の点同士をすべて互いに弦で結ぶ．その際，円の分割によってできる領域が最も多くなるようにする．最大分割領域数Ｍnはいくつになるか？

円周上に１個の点をとっても，円は分割されず，領域数は１であるが，円周上に２個の点をとり，点同士を線で結ぶと円は２つの領域に分割される（領域数２）．

　円周上に３個の点をとり，点同士を線で結ぶと円は４つの領域に分割される（領域数４）．円周上に４個の点をとり，点同士を線で結ぶと円は８つの領域に分割される（領域数８）．円周上に５個の点をとり，点同士を線で結ぶと円は１６個の領域に分割される（領域数１６）．

Ｍ1＝１，Ｍ2＝２は明らか．また，円に内接する三角形，四角形，五角形を描くと

　　Ｍ3＝４，Ｍ4＝８，Ｍ5＝１６

このことから，

　　Ｍn＝２^(n-1)

であると予想されます．しかし，この式ではＭ0＝１／２となってしまい，Ｍ0＝１とならないことが気にかかるところです．

ここまでは公比２の等比数列でしたが，ｎ＝６の場合を実際にやってみると，正六角形のように３本の線が１点で交わってしまう場合は最大領域数にならないのでＮＧですが，第６の点が既存の弦の交点を通らないように注意すると，点同士を線で結ぶと円は３１個の領域に分割される（領域数３１）．Ｍ6＝３２ではなく，Ｍ6＝３１となることがわかります．

ここで

　　Ｍn＝２^(n-1)

は間違いであることに気づかされるのですが，円周上に７個の点をとり，点同士を線で結ぶと円は５７個の領域に分割される（領域数５７）．Ｍ7＝５７

さらに点を増やしていくと，Ｍ8＝９９，Ｍ9＝１６３，Ｍ10＝２５６，Ｍ11＝３８６，・・・と続く．

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