■ピザの分割(その11)

 丸いピザ(半径1)のなかに1点P(zcosα,zsinα)を決める.点Pを通る弦の両端を点A,点Bとすると,PA×PBは点Pを通るすべての弦に対して同じ値をもつ(一定).

  PA×PB=PC×PD=C

 ピースの三角形部分,△APCと△BPDは相似になるのであるが,弦下の円弧部分は相似にならない.それでも

  1/2・∫(0,θ)r^2dθ

  1/2・∫(π,π+θ)r^2dθ

の比は一定と思われる.本当だろうか?

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  a=1/2・∫(0,π/4)r^2dθ

  b=1/2・∫(π/4,π/2)r^2dθ

  c=1/2・∫(π/2,3π/4)r^2dθ

  d=1/2・∫(3π/4,π)r^2dθ

  e=1/2・∫(π,5π/4)r^2dθ

  f=1/2・∫(5π/4,3π/2)r^2dθ

  g=1/2・∫(3π/2,7π/4)r^2dθ

  h=1/2・∫(7π/4,2π)r^2dθ

とすると,

  d=a+i+j

  e=h+i+j+k

  f=c+k+l

  g=b+l

 a・e=b・f=c・g=d・h=ω

が成り立つとすると

 h+i+j+k=ω/a

 c+k+l=ω/b

 b+l=ω/c

 a+i+j=ω/h

 l=−b+ω/c

 k=−c−l+ω/b=−c+b−ω/c+ω/b

 i+j=−h−k+ω/a=−h+c−b+ω/c−ω/b+ω/a

 i+j=−a+ω/h

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[雑感]同道巡りとなってしまう.やはり,解析的に計算するのが正攻法と思われる.

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