丸いピザのなかに１点を決める．それは中心点でなくてもかまわない．その点から４５°ずつ直線を引いて８ピース（ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ）に分ける．このとき，ひとつおきのピースの面積の和

　　ａ＋ｃ＋ｅ＋ｇ＝ｂ＋ｄ＋ｆ＋ｈ

は等しい．正確に中心点を決める必要はまったくないのである．

［Ｑ］この問題では４５°８ピースになっているが，６０°６ピースとか３０°１２ピースではいけないのだろうか？

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　丸いピザ（半径１）のなかに１点（ｚｃｏｓα，ｚｓｉｎα）を決める．その点を第１象限とすれば，ｚ＜１，０＜α＜π／２となる．その点を中心とする極座標は

　　１＝ｒ^2＋ｚ^2−２ｒｚｃｏｓ（π−α＋θ）

　　１＝ｒ^2＋ｚ^2＋２ｒｚｃｏｓ（α−θ）

　　ｒ^2＋２ｒｚｃｏｓ（θ−α）＋ｚ^2−１＝０

　　ｒ＝−ｚｃｏｓ（θ−α）±｛（ｚｃｏｓ（θ−α））^2＋１−ｚ^2｝^1/2

　θ＝αのとき，ｒ＝１−ｚ，θ＝α＋πのとき，ｒ＝１＋ｚであるから

　　ｒ＝−ｚｃｏｓ（θ−α）＋｛（ｚｃｏｓ（θ−α））^2＋１−ｚ^2｝^1/2

として

　　１／２・∫ｒ^2ｄθ

を計算すればよい．

　　ｒ^2＝２（ｚｃｏｓ（θ−α））^2＋１−ｚ^2−２ｚｃｏｓ（θ−α）｛（ｚｃｏｓ（θ−α））^2＋１−ｚ^2｝^1/2

となって，解析的に計算するのでは結構面倒になりそうである．

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［雑感］解析的に計算するのが正攻法と思われるが，

　　ａ＋ｃ＋ｅ＋ｇ＝ｂ＋ｄ＋ｆ＋ｈ

だけであれば，視覚的（幾何学的）に訴える証明方法も知られている．

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