■ピザの分割(その8)

 丸いピザのなかに1点を決める.それは中心点でなくてもかまわない.その点から45°ずつ直線を引いて8ピース(a,b,c,d,e,f,g,h)に分ける.このとき,ひとつおきのピースの面積の和

  a+c+e+g=b+d+f+h

は等しい.正確に中心点を決める必要はまったくないのである.

[Q]この問題では45°8ピースになっているが,60°6ピースとか30°12ピースではいけないのだろうか?

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 丸いピザ(半径1)のなかに1点(zcosα,zsinα)を決める.その点を第1象限とすれば,z<1,0<α<π/2となる.その点を中心とする極座標は

  1=r^2+z^2−2rzcos(π−α+θ)

  1=r^2+z^2+2rzcos(α−θ)

  r^2+2rzcos(θ−α)+z^2−1=0

  r=−zcos(θ−α)±{(zcos(θ−α))^2+1−z^2}^1/2

 θ=αのとき,r=1−z,θ=α+πのとき,r=1+zであるから

  r=−zcos(θ−α)+{(zcos(θ−α))^2+1−z^2}^1/2

として

  1/2・∫r^2dθ

を計算すればよい.

  r^2=2(zcos(θ−α))^2+1−z^2−2zcos(θ−α){(zcos(θ−α))^2+1−z^2}^1/2

となって,解析的に計算するのでは結構面倒になりそうである.

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[雑感]解析的に計算するのが正攻法と思われるが,

  a+c+e+g=b+d+f+h

だけであれば,視覚的(幾何学的)に訴える証明方法も知られている.

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