円に内接するｎ角形にすべての対角線を引いたときにできる断片数についてはわかったが，それではピザの縁を切り取り，正ｎ角形のピザを作ることにする．

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【１】正ｎ角形の対角線の交点数は？

　正ｎ角形の対角線に多重交点がなければＩ＝nＣ4となります．ｎが奇数の場合は多重交点がないのでこれが正解ですが，ｎが偶数のときは中心では必ずｎ／２本の対角線が交わります．

　また，ｎが６以上の偶数の場合は必ず多重交点が存在します．多重度は最大でも７を超えないことが確認されていて，６重点以上はｎが３０の倍数でないと出現しません．

　この後は代数的な議論に加え，煩雑な場合分けと例外処理が必要となります．ここで，関数

　　δm（ｎ）＝１　　（ｎはｍの倍数）

　　δm（ｎ）＝０　　（それ以外）

を用います．すなわち，ｎがｍの倍数ならば１，それ以外ならば０となる関数です．

　正ｎ角形の対角線の交点数の公式には，

　　ｍ＝２，４，６，１２，１８，２４，３０，４２，６０，８４，９０，１２０，２１０

が出現し，次のようなものになります．

　　Ｉ＝nＣ4＋（−５ｎ^3＋２４ｎ^2−７０ｎ＋２４）／２４・δ2（ｎ）＋３ｎ／２・δ4（ｎ）＋（−４５ｎ^2＋２６２ｎ）／６・δ6（ｎ）＋４２ｎ・δ12（ｎ）＋６０ｎ・δ18（ｎ）＋３５ｎ・δ24（ｎ）−３８ｎ・δ30（ｎ）−８２ｎ・δ42（ｎ）−３３０ｎ・δ60（ｎ）−１４４ｎ・δ84（ｎ）−９６ｎ・δ90（ｎ）−１４４ｎ・δ120（ｎ）−９６ｎ・δ210（ｎ）

　たとえば，

　　Ｉ（６）＝１３

　　Ｉ（１２）＝３０１

　　Ｉ（１８）＝１８３７

　　Ｉ（１８０）＝４０８４１４６１

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【２】正ｎ角形の対角線での断片数は？

　また，正ｎ角形をすべての対角線で分断したときの断片数は，

　　Ｒ＝（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ^2−３ｎ＋１２）／２４＋（−５ｎ^3＋４２ｎ^2−４０ｎ−４８）／４８・δ2（ｎ）−３ｎ／４・δ4（ｎ）＋（−５３ｎ^2＋３１０ｎ）／１２・δ6（ｎ）＋４９ｎ／２・δ12（ｎ）＋３２ｎ・δ18（ｎ）＋１９ｎ・δ24（ｎ）−３６ｎ・δ30（ｎ）−５０ｎ・δ42（ｎ）−１９０ｎ・δ60（ｎ）−７８ｎ・δ84（ｎ）−４８ｎ・δ90（ｎ）−７８ｎ・δ120（ｎ）−４８ｎ・δ210（ｎ）

　　Ｒ（６）＝２４

　　Ｒ（１２）＝４４４

　　Ｒ（１８）＝２４６６

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