八元整数は成分がすべて整数の数だけでは不十分で，適当に半整数（整数＋１／２）も含める必要があります．

　　［参］一松信「数の世界」丸善

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　ここで，八元整数の体系内で，除法

　　α＝β・γ＋δ，｜δ｜＜｜β｜

は可能かという問題があるのですが，ケイリー（その後何人か）が代数的に証明しようとして失敗したという逸話が伝わっています．

　それは可能なことをはじめて証明したのがコクセターです．その証明は幾何学的で，（その２）で説明したように８次元空間内で正単体と正軸体をうまく組み合わせると空間充填可能になります．コクセターは八元整数全体をうまく結ぶと自然にその充填形ができることを証明し，β^-1αに最も近い八元整数γが１未満にあることを幾何学的に証明したことになります．

　なぜなら，辺の長さが１の正単体，正軸体で頂点から最も近いのはその中心で，そこまでの距離名それぞれ

　　２／３＜１，１／√２＜１

となるからです．

　代数的に証明しようとして失敗した難問が，図形的に考えれば，ほとんど自明な事実となってしまったというわけです．

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辺の長さ２とする.

頂点から中心までの距離の２乗は

α8では2/1・2+2/2・3+・・・+2/8・9＝2・(1-1/9）=16/9→2/3

β8では2/1・2+2/2・3+・・・+2/7・8+2/8＝2・(1-1/8)+2/8=2→１／√２

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［Ｑ］１辺の長さ２の正三角形の内部に５点を配置する．このとき，距離が１以内の２点が存在することを証明せよ．

［Ａ］もとの正三角形を４つの小正三角形に分割する．ここに５点を配置するなら，最低でも２つの点はひとつの正三角形の中に属す．小正三角形の中にある２点の距離は１以内である．

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　このような問題はいくつでも考えることができる．

［Ｑ］１辺の長さ３の正方形の内部に１０点を配置する．このとき，距離が１．５以内の２点が存在することを証明せよ．

［Ａ］もとの正方形を９つの小正方形に分割する．ここに１０点を配置するなら，最低でも２つの点はひとつの正方形の中に属す．小正方形の中にある２点の距離は√２＜１．５以内である．

［Ｑ］１辺の長さ７の正方形の内部に５０点を配置する．このとき，距離が１．５以内の２点が存在することを証明せよ．

［Ａ］もとの正方形を４９の小正方形に分割する．ここに５０点を配置するなら，最低でも２つの点はひとつの正方形の中に属す．小正方形の中にある２点の距離は√２＜１．５以内である．

［Ｑ］半径１の円周上に７点を配置する．このとき，距離が１以内の２点が存在することを証明せよ．

［Ａ］もとの円周を６つの弧に分割する．ここに７点を配置するなら，最低でも２つの点はひとつの弧の中に属す．小正方形の中にある２点の距離は１以内である．

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