p(n)による母関数F(q)とモジュラー形式の間にどんな関係を見出すことができるのか？

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楕円曲線の判別式

Δ=(E4^3-E6^2)/1728=Στ(n)q^n・・・重み12

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ヤコビの公式

Δ=qΠ(1-q^i)^24

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qで割り、24乗根をとり、それから逆数にすることによって、p(n)による母関数F(q)

(q/Δ)^1/24=Π(1-q^i)^-1=F(q)

が得られる。・・・重み1/2の関数と関係している

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デデキントのエータ関数

η(q)=q^1/24Π(1-q^i),q=exp(πiz/12)

q^1/24/F(q)=η(q)

η^24=Δ

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オイラーの五角数定理・・・重み1/2の関数と関係している

η(q)/q^1/24=Π(1-q^i)=Σ(-1)^m・q^m(3m-1)/2

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ヤコビのテータ関数・・・重み1/2のモジュラー形式

θ(q)=Σq^(m^2)=1+2q2q^4+2q^9+・・・,q=exp(2πiz)

自動的に周期１の関数

ポアソンの和公式はθ(z)によって、θ(-1/z)を表現している。

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