zは上半平面を動く変数とする。z=x+iy,y＞0

exp(z)=exp(x)exp(iy)=exp(x){cos(y)+isin(y)}

このとき、q(z)=exp(2πiz)は、iz=ix-y

q(z)=exp(-2πy)exp(2πix)=exp(-2πy){cos(2πx)+isin(2πx)}で、単位円板上を動くことになる

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さらに

q(z+1)=exp(-2πy)exp(2πix)exp(2πi)=exp(-2πy)exp(2πix)=q(z)

で、周期１を持つことがわかる

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f(z)を上半平面で周期１を持つ関数とすれば

f(z)=a0+a1q+a2q^2+・・・

q=q(z)=exp(2πiz)

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T(z)=[1,1]ｚ=z+1・・・平行移動

[0,1]

S(z)=[0,1]z=-1/z・・・反転　

[-1,0]

f(γ(z))=(cz+d)^k・f(k)・・・重みkのモジュラー形式

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