■分割数の漸近挙動(その127)

  Π(1−z^m)=Σ(−1)^nz^(3n^2+n)/2

=1−z−z^2+z^5+z^7−z^12−z^15+z^22+z^26−・・・

となる.

[証]ヤコビの恒等式

  Π(1−u^kv^k-1)(1−u^k-1v^k)(1−u^kv^k)

=Σ(−1)nu^nC2v^nC2

において,u=z,v=z^2とおくと,左辺は

  Π(1−z^3k-2)(1−z^3k-1)(1−z^3k)=Σ(−1)^nz^(3n^2+n)/2

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  Π(1−z^k)^3=Σ(−1)^n(2n+1)z^(n^2+n)/2

=1−3z+5z^3−7z^6+9z^10−・・・

[証]ヤコビの恒等式

  Π(1−u^kv^k-1)(1−u^k-1v^k)(1−u^kv^k)

=Σ(−1)nu^nC2v^nC2

において,u=w,v=z/wとおくと,左辺は

  Π(1−z^kw)(1−z^k/w)(1−z^k)

=Σ(−1)^nw^nz^(n^2+n)/2/(1−w)

=Σ(−1)^n(w^-n−w^n+1)z^(n^2+n)/2/(1−w)

=Σ(−1)^n(w^-n+・・・+w^n)z^(n^2+n)/2

 w=1とすると,

  Π(1−z^k)^3=Σ(−1)^n(2n+1)z^(n^2+n)/2

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