Π（１−ｚ^m）＝Σ（−１）^nｚ^(3n^2+n)/2

＝１−ｚ−ｚ^2＋ｚ^5＋ｚ^7−ｚ^12−ｚ^15＋ｚ^22＋ｚ^26−・・・

となる．

［証］ヤコビの恒等式

　　Π（１−ｕ^kｖ^k-1）（１−ｕ^k-1ｖ^k）（１−ｕ^kｖ^k）

＝Σ（−１）nｕ^nC2ｖ^nC2

において，ｕ＝ｚ，ｖ＝ｚ^2とおくと，左辺は

　　Π（１−ｚ^3k-2）（１−ｚ^3k-1）（１−ｚ^3k）＝Σ（−１）^nｚ^(3n^2+n)/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Π（１−ｚ^k）^3＝Σ（−１）^n（２ｎ＋１）ｚ^(n^2+n)/2

＝１−３ｚ＋５ｚ^3−７ｚ^6＋９ｚ^10−・・・

［証］ヤコビの恒等式

　　Π（１−ｕ^kｖ^k-1）（１−ｕ^k-1ｖ^k）（１−ｕ^kｖ^k）

＝Σ（−１）nｕ^nC2ｖ^nC2

において，ｕ＝ｗ，ｖ＝ｚ／ｗとおくと，左辺は

　　Π（１−ｚ^kｗ）（１−ｚ^k／ｗ）（１−ｚ^k）

＝Σ（−１）^nｗ^nｚ^(n^2+n)/2／（１−ｗ）

＝Σ（−１）^n（ｗ^-n−ｗ^n+1）ｚ^(n^2+n)/2／（１−ｗ）

＝Σ（−１）^n（ｗ^-n＋・・・＋ｗ^n）ｚ^(n^2+n)/2

　ｗ＝１とすると，

　　Π（１−ｚ^k）^3＝Σ（−１）^n（２ｎ＋１）ｚ^(n^2+n)/2

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