オイラーの恒等式，

　　Π（１−ｚ^m）＝Σ（−１）^nｚ^(3n^2+n)/2

＝１−ｚ−ｚ^2＋ｚ^5＋ｚ^7−ｚ^12−ｚ^15＋ｚ^22＋ｚ^26−・・・

が，分割数の漸化式が

　　p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-･･･

を満たすことを意味している．

　右辺のｐは（）内が０以上である限り続けられる．ただし，ｐ（０）＝１とみなす．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　オイラーは次の定理も証明している．

　ｎの約数の和をσ（ｎ）とするとき，

　　σ(n)=σ(n-1)+σ(n-2)-σ(n-5)-σ(n-7)+σ(n-12)+σ(n-15)-･･･

　右辺のσは（）内が０以上である限り続けられる．ただし，σ（０）＝ｎとみなす．

　たとえば，

　　σ(12)=σ(11)+σ(10)-σ(7)-σ(5)+σ(0)

＝１２＋１８−８−８＋１２＝２８

　普通，σ（ｎ）を求めるにはｎの約数を求めなければならない（ｎの素因数分解を知る必要がある．しかし，この関係式を使うとその必要はなくなるのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　σ(ｐ)=１＋ｐ

　　σ(11)=１＋１１＝１２

　　σ(11)=σ(10)+σ(9)-σ(6)-σ(4)＝１８＋１３−１２−７＝１２

　　σ(12)=１＋２＋３＋４＋６＋１２＝２８

　　σ(12)=σ(11)+σ(10)-σ(7)-σ(5)+σ(0)＝１２＋１８−８−８＋１２＝２８

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ｎの約数の和をσ（ｎ）とするとき，

　　σ(n)=σ(n-1)+σ(n-2)-σ(n-5)-σ(n-7)+σ(n-12)+σ(n-15)-･･･

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［証］（その４）より，

ｌｎＰ（ｚ）＝Σｌｎ１／（１−ｚ^m）＝ΣΣｚ^mn／ｎ

　　Σσ（ｎ）ｚ^n＝Σｍｚ^mn＝ｚｄ／ｄｚｌｎＰ（ｚ）

＝（ｚ＋２ｚ^2−５ｚ^5−７ｚ^7＋・・・）／（１−ｚ−ｚ^2＋ｚ^5＋ｚ^7−・・・）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝