【４】ポアソンの総和公式

　より正確には，

ｌｎＰ（ｅ^-t）＝ζ（２）／ｔ＋１／２ｌｎｔ／２π−ｔ／２４＋ｌｎＰ（ｅ^-4π^2/t）

　p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

は，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法を用いて証明が与えられています．

　これはハーディーとラマヌジャンによる重要な結果のひとつですが，その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

　　λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する

が与えられました（１９３７年）．

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【５】粗い近似と詳しい近似

　ｐ（１００）＝１９０５６９２９２

［１］p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))（１＋Ｏ（ｎ^-1/2）

　ｐ（１００）〜１．９９３×１０^8

［２］p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))（１−１／π・√３／２ｎ）（１＋Ｏ（ｘｅｘｐ（−π√(n/6)）

　　ここで，ｎ←ｎ−１／２４

　ｐ（１００）〜１．９０５６８９４４．７８３

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　補足．

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【１】ポアソンの総和公式

　ポアソンの総和公式より，

　　ｅｘｐ（−ｔ／２４）／Ｐ（ｅ^-t）＝（２π／ｔ）^1/2・ｅｘｐ（−π^2／６ｔ）／Ｐ（ｅ^-4π^2/t）

　これより，

ｌｎＰ（ｅ^-t）＝ζ（２）／ｔ＋１／２ｌｎｔ／２π−ｔ／２４＋ｌｎＰ（ｅ^-4π^2/t）

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【２】ハーディー・ラマヌジャン・ラーデマッハーの公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

であるが，

　　p(n)=π／２^5/4３^3/4（ｎ−１／２４）^3/4ΣAk(n)/k･I3/2(√(2/3)･π/k･(n-1/24)^1/2)

I3/2は変形球ベッセル関数

I3/2(z)=(z/2)^3/2Σ1/Γ(k+5/2)･(z^2/4)/k!=√(2z/π)･(coshz/z-sinhz/z^2)

係数Ak(n)はデデキント和σを用いて，

Ak(n)=Σexp(2πi(σ/24-nh/k))

Ａ1（ｎ）＝１，Ａ2（ｎ）＝（−１）^n，

Ａ3（ｎ）＝２ｃｏｓ（２４ｎ＋１）π／１８

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