「分割数」とは与えられた整数にどれだけ多くの分割があるのか（4=1+1+1+1,4=3+1）という整数の分割理論のことです．整数の分割では，3=2+1と3=1+2のように足し算の順序が違うものは同じと見なすことにします．たとえば，４を分割するには非増加数列で構成した５通りの方法，4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1がありますから，p(4)=5．同様にして，5=4+1=3+2=3+1+1=2+2+1=2+1+1+1=1+1+1+1+1よりp(5)=7となります．

　　p(0)=1,p(1)=1,p(2)=2,p(3)=3,p(4)=5,p(5)=7,p(6)=11,

　　p(7)=15,p(8)=22,p(9)=30,p(10)=41,p(11)=56,p(12)=77,･･･

ここで，p(n)はオイラーの分割関数とも呼ばれますが，定義が簡単そうにみえるにも関わらず，易しい式で表すことはできません．

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　　Π(1-q^n)=Σ(-1)^mq^(m(3m-1)/2))

は，オイラーが分割関数p(n)の研究中に発見した関数等式です（１７５０年）．左辺は整数のｋ個の平方数の和への分割問題：

　　ｎ＝□1＋□2＋・・・＋□k

に結びついています．ｍが負になる項も含んでいるため，展開すると

　　Π(1-q^n)=1-x-x^2+x^5+x^7-x^12-x^15+x^22+x^26-x^35-x^40+x^51+･･･

になります．

　この等式もオイラー積のように「無限積＝無限和」型の等式ですが，指数の引数：ｍ（３ｍ−１）／２，すなわち，１，５，１２，２２，３５，５１，・・・という数列がピタゴラスの五角数であることから，五角数定理と呼ばれています．

　p(n)はオイラーの分割関数とも呼ばれますが，整数の分割問題は，現在では，統計力学（Maxwell-Boltzmann統計，Bose-Einstein統計，Fermi-Dirac統計）など様々な分野で実際的な問題を解決するのに用いられています．

　また，オイラーの五角数定理は，左辺がイータ関数，右辺がテータ関数と呼ばれる保型形式の原型を与えていたので，１９世紀には，

　　デデキントのイータ関数＝ヤコビのテータ関数

すなわち，保型形式の間の等式と捉えられるようになりました．さらに，１９８７年にウィッテンにより，素粒子の超弦理論はアデール理論として捉えられたことにより，最近では素粒子の超弦理論との関連も研究されています．

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　分割数を求めるには，五角数を利用したオイラーの方法があります．

　　p(n)-p(n-1)-p(n-2)+p(n-5)+p(n-7)-p(n-12)-p(n-15)+･･･=0^n

ただし，ｎ＝０のとき0^n=1，ｎが正のときは0^n=0とします．符号は２つずつ組になって反転していますが，それにしても不思議な公式です．

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