オイラーの分割数ｐ（ｎ）の合同式

　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　（ｍｏｄ５）

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　（ｍｏｄ７）

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　（ｍｏｄ１１）

のように，τ（ｎ）はｍｏｄ７，２３，６９１との驚くような関係をもっています．

［１］ｎ＝７ｍ＋ｋ（ｋ＝０，３，５，６）→τ（ｎ）＝０　（ｍｏｄ７）

［２］ｎ＝２３ｍ＋ｋ（ｋが２３の平方非剰余であるとき）→τ（２３ｍ＋ｋ）＝０　（ｍｏｄ２３）

［３］τ（ｎ）＝σ11（ｎ）　（約数の１１乗の和）（ｍｏｄ６９１）

など、これらのほかにも多数ある．

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