【１】ラマヌジャンの分割数（保型形式論の端緒）

ラマヌジャンは，重さ12の保型形式

　　Δ(z)＝qΠ(1-q^n)^24＝q{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)・・・}^24

＝Στ(n)q^n=τ(1)q+τ(2)q^2+τ(3)q^3+･･･

　　　　　 ｚは虚部が正の複素数で，q=exp(2πiz)

を考え，その係数τ(n)を計算しました．この式は楕円関数に関する深淵な研究に由来しています。

Δ＝ｑ−２４ｑ^2＋２５２ｑ^3−１４７２ｑ^4＋４８３０ｑ^5−６０４８ｑ^6−１６７４４ｑ^7＋８４４８０ｑ^8−１１３６４３ｑ^9＋・・・

τ(1)=1,τ(2)=-24,τ(3)=252,τ(4)=-1472,τ(5)=4830,τ(6)=-6048,

τ(7)=-16744,τ(8)=84480,τ(9)=-113643,τ(10)=-115920,

τ(11)=534612,τ(12)=-370944,･･･

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　τ(n)はオイラーの分割数のアナローグであり，ラマヌジャン数と呼ばれます．τ（ｎ）は，（ｍ，ｎ）＝１すなわちｍとｎが素ならば，

τ（ｍｎ）＝τ（ｍ）τ（ｎ）

という乗法的性質をもっています．

τ(2)*τ(3)=-6048=τ(6)，τ(2)*τ(5)=-115920=τ(10)

τ(3)*τ(4)=-370944=τ(12)，τ(2)*τ(9)=2727432=τ(18)

τ(4)*τ(5)=-7109760=τ(20)，τ(3)*τ(7)=-4219488=τ(21)

τ(p^(n+1))-τ(p^n)τ(p)=-p^11τ(p^(n-1))　　（漸化式）

τ（６）＝τ（２）τ（３）

τ（１０）＝τ（２）τ（５）

τ（４）＝τ^2（２）−２^11

τ（８）＝τ（２）τ（４）−２^11τ（２）

τ（９）＝τ^2（３）−３^11

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1919年、モーデルがこれらの公式を証明しました。

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１９１６年，ラマヌジャンは，ラマヌジャン関数

　　Δ（ｚ）＝ｑΠ（１−ｑ^n）^24＝Στ（ｎ）ｑ^n

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

に対するゼータ関数について考え，ある予想をたてました．

　ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，

　　Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)

とおくと，オイラー積のアナローグである

　　Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)

が成り立つことを予想したのです．

　歴史上最初のゼータであるオイラー積

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数ではｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．

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