【５】オイラーの分割恒等式

　オイラーの分割恒等式が任意の正の整数に対して成り立つことをどうやって示すか，そのための基本的アイディアが母関数を用いることです．ｎをすべて異なる数に分割する仕方について考えましょう．

　この場合の母関数は，各整数を高々１回，繰り返すことなく取ることになるますから，制限のない場合の母関数

　　f(x)=(1+x+x^2+･･･)(1+x^2+x^4+･･･)(1+x^3+x^6+･･･)･･･

の因数を１以外に１つの項だけもつようにすればよい，したがって，

　　f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･

となることがわかります．

　また，この母関数は

　　(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･

　　=(1-x^2)/(1-x)･(1-x^4)/(1-x^2)･(1-x^6)/(1-x^3)･･･

　　=1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)･･･

と書き換えることができます．

　これは奇数の整数への分割に対応する母関数であることがわかります．すなわち，

　　q(n)：ｎの奇数のみを用いた分割の総数

　　r(n)：ｎの互いに異なる数を用いた分割の総数

とすると

　　Σq(n)x^n=1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)･･･

　　Σr(n)x^n=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･

であり，両者の母関数は一致します．

　こうして，異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという注目すべき結果を得ることができたのですが，もし，物理状態がｎ個の基本粒子の分割に関係しているとすると，相異なる分割と奇数の分割は区別できないことになります．この驚くべき結果は１７４８年にオイラーによって証明されました．

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