【２】制限のある分割

　制限のない分割に対する母関数については，（その９７）で述べましたが，たとえば，最大の整数がmax，最小の整数がminである場合のｎの分割に対する母関数は，

　　f(x)=1/{(1-x^min)(1-x^(min+1))･･･(1-x^(max-1))(1-x^max)}

と書くことができます．

　同様に，６以上の偶数に分割する場合の母関数は

　　f(x)=1/{(1-x^6)(1-x^8)(1-x^10)･･･}

となるのですが，次に，ｎをすべて異なる数に分割する仕方について考えましょう．

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　この場合の母関数は，各整数を高々１回，繰り返すことなく取ることになるますから，制限のない場合の母関数

　　f(x)=(1+x+x^2+･･･)(1+x^2+x^4+･･･)(1+x^3+x^6+･･･)･･･

の因数を１以外に１つの項だけもつようにすればよい，したがって，

　　f(x)=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･

となることがわかります．

　また，この母関数は

　　(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･

　　=(1-x^2)/(1-x)･(1-x^4)/(1-x^2)･(1-x^6)/(1-x^3)･･･

　　=1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)･･･

と書き換えることができます．

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　これは奇数の整数への分割に対応する母関数であることがわかります．すなわち，

　　q(n)：ｎの奇数のみを用いた分割の総数

　　r(n)：ｎの互いに異なる数を用いた分割の総数

とすると

　　Σq(n)x^n=1/(1-x)(1-x^3)(1-x^5)･･･

　　Σr(n)x^n=(1+x)(1+x^2)(1+x^3)･･･

であり，両者の母関数は一致します．

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　こうして，異なる数への分割と奇数への分割が同数あるという注目すべき結果を得ることができたのですが，例えば，５を異なる数に分割するのは5,4+1,3+2の３通り，奇数に分割するのは5,3+1+1,1+1+1+1+1の３通りというわけです．

　もし，物理状態がｎ個の基本粒子の分割に関係しているとすると，相異なる分割と奇数の分割は区別できないことがわかったのですが，実際，整数の分割問題は，現在では，統計力学（Maxwell-Boltzmann統計，Bose-Einstein統計，Fermi-Dirac統計）など様々な分野で実際的な問題を解決するのに用いられています．

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