【１】オイラーの分割数

　ラマヌジャンはp(n)が満たす合同式について

　　ｐ（５ｎ＋４）＝０　　ｍｏｄ５

　　ｐ（７ｎ＋５）＝０　　ｍｏｄ７

　　ｐ（１１ｎ＋６）＝０　　ｍｏｄ１１

　　ｐ（５９９）＝０　　ｍｏｄ５^3

　　ｐ（７２１）＝０　　ｍｏｄ１１^2

を予想し，それらを証明しています．

　さらに，

　　ｄ＝５^a７^b１１^c　かつ　２４ｎ＝１　　（ｍｏｄ　ｄ）

ならば，

　　ｐ（ｎ）＝０　　（ｍｏｄ　ｄ）

を予想していますが，ｎ＝２４３の場合，

　　ｐ（２４３）＝１３３９７８２５９３４４８８８

は，２４・２４３＝１　　（ｍｏｄ　３４３）であるにもかかわらず，ｄ＝７^3＝３４３では割り切れない．（この予想は誤りであった．）

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【２】オイラーの分割数の近似式

　オイラーの分割数ｐ（ｎ）のおよその大きさを決めるのは難しい問題でしたが，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法による漸近近似式：

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

が与えられています．

　ｎ＝２４３の場合，ｐ（２４３）＝１３３９７８２５９３４４８８８に対して

　　p(n)〜exp(π√(2n/3))/4n√3〜１．３８×１０^14

　その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

　　λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する

が与えられました（１９３７年）．

　コラム「分割数の漸近挙動」では，p(n)の粗いがそれなりによい評価式を求めていて，それによると

　　exp(2√n)/exp(5)n^2≦p(n)≦exp(π√(2/3n))

したがって，十分大きなｎに対しては

　　exp(c1√n)≦p(n)≦exp(c2√n)

となる評価が得られたことになります．ラマヌジャンの結果より粗いのですが，関数の増加に対するオーダーがわかればそれでよしとしましょう．

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【３】分割数の近似式・再考

　実は，円周法に基づく漸近公式の結果を正確に証明するだけでも，長くてこみ入った理論が必要になります．そこで漸近公式の概要だけを簡単に述べますが，σ(k)をｋの約数の和とすると，p(n)に対する漸化式

　　p(n)=1/nΣσ(k)p(n-k)

において，σ(k)の漸近的振る舞い

　　1/n^2Σσ(k)〜π^2/12

を用いると，ｎが大きい場合の分割数の漸近挙動

　　p(n)〜exp(π√(2n/3))/4n√3

を得ることができます．

　このことから，p(n)は準指数関数と考えることができます（p(n)^(1/n)→1）．参考までに記しますが，

　　p(n)≦p(n-1)+p(n-2)

が成り立つことより，分割数の増大速度はファイボナッチ数で上から抑えられることが示されます．したがって，黄金比φ＝（√５＋１）／２とおくと上界は

　　p(n)＜φ^n．

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