１９１６年，ラマヌジャンはラマヌジャン数のゼータについて考え，ある予想をたてました．ラマヌジャン数のゼータ，すなわち，

　　Ｌ(s)＝Στ(n)n^(-s)

とおくと（オイラー積のアナローグ）

　　Ｌ(s)＝Π{1-τ(p)p^(-s)+p^(11-2s)}^(-1)

が成り立つことを予想したのです．

　歴史上最初のゼータであるオイラー積

　　ζ(s)＝Σｎ^(-s)＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

は積の中身がｐ^(-s)の１次式であり，本質的には１次のゼータでしたが，Ｌ関数では，ｐ^(-1)の１次式から２次式に進化しているのです．ラマヌジャン数のゼータは，歴史上最初の２次のゼータといえるのですが，新種のゼータに関するこの予想は，翌年，モーデルによって証明されました（１９１７年）．

　また，τ(p)はｐが増加するとき，急激に増加するのですが，１９７４年，ドリーニュによって，ラマヌジャン予想，

　　｜τ(p)｜＜２ｐ^(11/2)

が証明されています．この式はp^(-s)=ｘとおいた２次式

　　1-τ(p)ｘ+p^11ｘ^2

の虚根条件（判別式：τ(p)^2-4p^11＜０）となっていることに注意して下さい．

　このようにして，

　　τ(p)＝２ｐ^(11/2)ｃｏｓθp　　　（０≦θp≦π）

なるθpがただひとつとれます．そこで，任意に固定された０≦ａ≦ｂ≦πに対して，偏角θpが［ａ，ｂ］となる素数密度は

　　2/π∫(a,b)sin^2θdθ

で与えられるだろうという佐藤幹夫予想がたてられています．すなわち，θp＝π／２のあたりに多く分布していることを予想しているというわけです．この予想は２００９年，テイラーにより証明されました．

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