■分割数の漸近挙動(その72)

 (その70)の母関数

  h(x)=Σanx^n=Σx^(k1+2k2+3k3)=Σx^k1Σx^2k2Σx^3k3

 =1/(1−x)・1/(1−x^2)・1/(1−x^3)

を求めてみたい.

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f(x)=1/(1−x)

=1+x+x^2+x^3+・・・=a0+a1x+a2x^2+a3x3+・・・

g(x)=1/(1−x)・1/(1−x^2)

=(1+x^2+x^4+x^6+・・・)f(x)=b0+b1x+b2x^2+b3x3+・・・ (整数nを1,2の自然数の和に分解する場合の数)

h(x)=1/(1−x)・1/(1−x^2)・1/(1−x^3)

=(1+x^3+x^6+x^9+・・・)g(x)=c0+c1x+c2x^2+c3x3+・・・ (整数nを1,2,3の自然数の和に分解する場合の数)

(1−x^2)g(x)=f(x)において,両辺のx^nの係数を比較すると,

  a0=1,a1=1,・・・,an=1

  b0=a0,b1=a1,bn−bn-2=an,(n≧2)(

  c0=b0,c1=b1,c2=b2,cn−cn-3=bn,(n≧3)(

  cn−cn-3=bn

  cn-1−cn-4=bn-1

  cn-2−cn-5=bn-2

  cn−cn-3−cn-2+cn-5=bn−bn-2=an

  cn-1−cn-4−cn-3+cn-6=an-1

  cn−cn-3−cn-2+cn-5−cn-1+cn-4+cn-3−cn-6=0

  cn=cn-1+cn-2−cn-4−cn-5+cn-6

を得ることができます.

  c0=1,c1=1,c2=2,c3=3,c4=4,c5=5,

  c6=7,c7=8,c8=10,c9=12,c10=14,c11=16,

  ・・・,c50=234,・・・

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